Combinación lineal del movimiento browniano geométrico

Question

Dejemos que $X_t= e^{\left(\mu-\sigma^2/2 \right)t+\sigma W_t}$ sea un movimiento browniano geométrico con deriva $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ . Estoy tratando de encontrar una solución analítica para

$$\mathbb{E}\left[ \max(a X_T + b X_S -K,0)\right],$$ donde $a$ , $b$ y $K$ son constantes y $0<S<T$ .

Mi objetivo es encontrar el punto crítico a partir del cual $aX_T + bX_S$ será mayor que $K$ para poder despreciar la función máxima y evaluar la expectativa.

¿Estoy en lo cierto al decir que si sólo hubiera $Y= X_T + X_S$ podría utilizar la relación $X_T + X_S=2X_S + X_T - X_S$ para encontrar su media y varianza y posteriormente encontrar el punto crítico?

¿Hay alguna forma de proceder de la misma manera para mi problema original?

Answer 1

Puedes escribir

$$\mathbb{E}\left[ \max(a X_T + b X_S -K,0)\right] = \mathbb{E}\left[ \max(a X_S Y_{S,T} + b X_S -K,0)\right],$$

con $Y_{S,T} = X_T/X_S.$

Para un valor determinado de $X_S$ podemos escribir $$\mathbb{E}\left[ \max(a X_S Y_{S,T} + b X_S -K,0)\right] = X_S \mathbb{E}\left[ \max(a Y_{S,T} + b -K/X_s,0)\right],$$ desde $Y_{S,T}$ es logarítmico-normal esto puede ser evaluado por una fórmula de tipo BS.

A continuación, integramos numéricamente sobre el valor de $X_S$ con una densidad log-normal.

Answer 2

1. dejar $X$ sea una logarítmica normal aleatoria con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ entonces $aX$ se dice que tiene una distribución logarítmica normal escalada con media $a\mu$ y y varianza $a^2\sigma^2$ .
2. Dejemos que $X_j$ sea una variable independiente distribuida log-normalmente con media $\mu_j$ y la varianza $\sigma_j^2$ y $Y=\sum_{j=1}^{n}X_j$ La distribución de $Y$ no tiene una expresión de forma cerrada, pero puede aproximarse razonablemente mediante otra distribución log-normal $Z$ en la cola derecha. Su función de densidad de probabilidad en la vecindad de $0$ Se ha caracterizado y no se asemeja a ninguna distribución log-normal.Una aproximación comúnmente utilizada debido se obtiene igualando la media y la varianza de otra distribución log-normal: \begin{align} &\mu_Z=\ln\left(\sum_{j=1}^{n}e^{2\mu_j+\sigma_j^2/2}\right)-\frac{1}{2}\sigma^2_Z\\ &\sigma^2_Z=\ln\left(\frac{\sum_{j=1}^{n}{e^{2\mu_j+\sigma_j^2}}(e^{\sigma_j^2}-1)}{\left[\sum_{j=1}^{n}e^{2\mu_j+\sigma_j^2}\right]^2}+1\right) \end{align}
3. para más detalles, puede descargar estos
   • Comportamiento asintótico de la densidad de cola para la suma de variables logarítmicas normales correlacionadas
   • Ajuste de la Log Skew Normal a la Distribución de la Suma de Log-normales Independientes.