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Combinación lineal del movimiento browniano geométrico

Dejemos que Xt=e(μσ2/2)t+σWt sea un movimiento browniano geométrico con deriva μ y la volatilidad σ . Estoy tratando de encontrar una solución analítica para

E[max donde a , b y K son constantes y 0<S<T .

Mi objetivo es encontrar el punto crítico a partir del cual aX_T + bX_S será mayor que K para poder despreciar la función máxima y evaluar la expectativa.

¿Estoy en lo cierto al decir que si sólo hubiera Y= X_T + X_S podría utilizar la relación X_T + X_S=2X_S + X_T - X_S para encontrar su media y varianza y posteriormente encontrar el punto crítico?

¿Hay alguna forma de proceder de la misma manera para mi problema original?

2voto

Steven Dick Puntos 151

Puedes escribir

\mathbb{E}\left[ \max(a X_T + b X_S -K,0)\right] = \mathbb{E}\left[ \max(a X_S Y_{S,T} + b X_S -K,0)\right],

con Y_{S,T} = X_T/X_S.

Para un valor determinado de X_S podemos escribir \mathbb{E}\left[ \max(a X_S Y_{S,T} + b X_S -K,0)\right] = X_S \mathbb{E}\left[ \max(a Y_{S,T} + b -K/X_s,0)\right], desde Y_{S,T} es logarítmico-normal esto puede ser evaluado por una fórmula de tipo BS.

A continuación, integramos numéricamente sobre el valor de X_S con una densidad log-normal.

0voto

  1. dejar X sea una logarítmica normal aleatoria con media \mu y la varianza \sigma^2 entonces aX se dice que tiene una distribución logarítmica normal escalada con media a\mu y y varianza a^2\sigma^2 .
  2. Dejemos que X_j sea una variable independiente distribuida log-normalmente con media \mu_j y la varianza \sigma_j^2 y Y=\sum_{j=1}^{n}X_j La distribución de Y no tiene una expresión de forma cerrada, pero puede aproximarse razonablemente mediante otra distribución log-normal Z en la cola derecha. Su función de densidad de probabilidad en la vecindad de 0 Se ha caracterizado y no se asemeja a ninguna distribución log-normal.Una aproximación comúnmente utilizada debido se obtiene igualando la media y la varianza de otra distribución log-normal: \begin{align} &\mu_Z=\ln\left(\sum_{j=1}^{n}e^{2\mu_j+\sigma_j^2/2}\right)-\frac{1}{2}\sigma^2_Z\\ &\sigma^2_Z=\ln\left(\frac{\sum_{j=1}^{n}{e^{2\mu_j+\sigma_j^2}}(e^{\sigma_j^2}-1)}{\left[\sum_{j=1}^{n}e^{2\mu_j+\sigma_j^2}\right]^2}+1\right) \end{align}
  3. para más detalles, puede descargar estos

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