Me gustaría proponerles el siguiente problema y mi propuesta de solución. En particular, no estoy seguro de cómo caracterizar correctamente la demanda walrasiana. ¿Podríais echarle un vistazo y expresar vuestras opiniones y correcciones?
Dejemos que ${x}=(x_1,x_2)$ denotan el vector de consumo, ${p}=(p_1,p_2)$ denota el vector de precios, y dejemos que $w$ sea la riqueza del consumidor. El problema de maximización de la utilidad es
\begin{equation*} \max_{{x\geq 0}} \ \ (x_1 + 1)^\alpha (x_2+1)^\beta \ \ \ \text{ s.t. } {p \cdot x} \leq w.\end{equation*}
con $\alpha + \beta = 1$ con $\alpha, \beta > 0$ . La función lagrangiana para la UMP es
\begin{equation*} \mathcal{L} ({x}, \lambda, {\mu} ) = (x_1 + 1)^\alpha (x_2+1)^\beta- \lambda ({p \cdot x} -w) + {\mu \cdot x},\end{equation*}
donde $\lambda$ y ${\mu} = (\mu_1,\mu_2)$ son los multiplicadores lagrangianos.
Las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker para el problema del consumidor están formadas por las siguientes condiciones:
\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta - \lambda p_1 + \mu_1&= 0,\\[5pt] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha - \lambda p_2 + \mu_2 &= 0, \end{aligned} \end{equation*} con $\lambda \geq 0$ y ${\mu} \geq 0$ las restricciones iniciales,
\begin{equation} {p \cdot x} \leq w \ \ \ \text{ and } \ \ \ {x } \gg 0,\end{equation}
y las condiciones de holgura complementarias,
\begin{equation*} \lambda \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \lambda ({p \cdot x} - w)=0 \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \mu_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu_i} = \mu_i x_i = 0 \ \text{ for } i=1,2. \end{equation*}
Obsérvese que en estas condiciones $\partial u({x})/\partial x_i \leq \lambda p_i$ . Desde $\nabla u({x}) \gg 0$ y ${p} \gg 0$ Esto implica $\lambda \geq [\partial u({x})/\partial x_i]/p_i > 0$ . En palabras, el multiplicador lagrangiano $\lambda$ es positiva y la restricción es vinculante. Por lo tanto, por $\lambda ({p \cdot x} - w)=0$ podemos concluir que ${p \cdot x} = w$ (La ley de Walras se mantiene).
Las soluciones interiores son del tipo ${x} \gg 0$ que implican ${\mu} = {0}$ . Como hemos demostrado anteriormente, porque $u({x})$ es una función creciente y como suponemos ${p} \gg 0$ la ley de Walras se mantiene. Así, las condiciones de Kuhn-Tucker se restringen al sistema de ecuaciones
$$\begin{align} &\alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta = \lambda p_1, \qquad &(1)\\[5pt] &\beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha = \lambda p_2, \qquad &(2)\\[5pt] &{x} \gg 0, \qquad &(3)\\[5pt] &{p \cdot x} = w. \qquad &(4) \end{align}$$
Dividiendo (1) por (2) obtenemos la condición clave (de tangencia) para un óptimo: la tasa marginal de sustitución del bien 1 por el bien 2 en el óptimo debe ser igual a la relación de precios de los dos bienes
\begin{equation*} \frac{\alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta}{\beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha}= \frac{p_1}{p_2} \end{equation*}
\begin{equation} \frac{\alpha (x_2 +1)}{\beta(x_1+1)}= \frac{p_1}{p_2} .\qquad (5)\end{equation}
Resolviendo (5) para $x_2$ permite reescribir la condición necesaria (y suficiente) para ${x}=(x_1,x_2) $ para ser un óptimo de forma útil para nuestros cálculos
\begin{equation} x_2= \frac{\beta p_1}{\alpha p_2}(x_1+1) -1. \qquad (6) \end{equation}
Sustituyendo (6) en (4) podemos resolver $x_1 ({p}, w)$
$$\begin{align} &p_1 x_1 +p_2 \bigg(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}(x_1+1) -1\bigg) = w \nonumber \\[5pt] &p_1 x_1 = \bigg(w - \frac{\beta }{\alpha}p_1 + p_2 \bigg)\frac{\alpha}{\alpha + \beta} \nonumber \\[5pt] &x_1 ({p}, w) = \frac{\alpha (w+p_2)}{p_1} - \beta , \qquad \qquad (7) \end{align}$$
y sustituyendo (7) en (6) podemos resolver para $x_2 ({p}, w)$ \begin{equation*} x_2 ({p}, w) = \frac{\beta (w+p_1)}{p_2} - \alpha .\end{equation*}
Para las soluciones de los límites tenemos que ver los casos en los que $x_1 = 0$ o $x_2 = 0$ (que ambos sean iguales a cero carece de interés y, desde luego, no es el caso de ninguna función localmente no cuantitativa). La condición de holgura complementaria $\mu_i x_i = 0 $ para $i=1,2$ implica en el primer caso $\mu_1 \geq 0$ y en el segundo $\mu_2 \geq 0$ . Como antes, porque $u({x})$ es una función creciente y como suponemos ${p} \gg 0$ La ley de Walras se cumple (en ambos casos). \[-7pt]
En el primer caso, $x_1 = 0$ implica $\mu_1 \geq 0$ . Así, las condiciones de Kuhn-Tucker se restringen al sistema de ecuaciones
$$\begin{align} &\alpha(x_1+1)^{\alpha-1} (x_2 +1)^\beta \leq \lambda p_1, \qquad &(8)\\[5pt] &\beta(x_2+1)^{\beta-1} (x_1 +1)^\alpha = \lambda p_2,\qquad &(9)\\[5pt] &x_1 = 0, \ \ x_2 > 0, \qquad &(10)\\[5pt] &{p \cdot x} = w. \qquad &(11) \end{align}$$
Sustituyendo la ecuación de (10) en la restricción presupuestaria (11) obtenemos el candidato a óptimo, $x_2=w/p_2$ . Entonces, si dividimos (8) por (9), y consideramos $x_1 = 0$ obtenemos la condición necesaria (y suficiente) para que $x_2=w/p_2$ siendo óptimo \footnote {Nótese que, para las soluciones de frontera, la curva de indiferencia no tiene por qué ser tangente a la línea presupuestaria}.
\begin{equation*} \frac{\alpha (x_2 +1)}{\beta(x_1+1)} \leq \frac{p_1}{p_2} \end{equation*}
\begin{equation} \frac{\alpha (x_2 +1)}{\beta} \leq \frac{p_1}{p_2}. \end{equation}
Desde $\alpha (x_2 +1) / \beta > 0$ existe algún vector de precios ${p \gg 0}$ que satisface (12). Por lo tanto, $x_2=w/p_2$ es óptimo para esos vectores de precios ${p}$ que satisfagan (12).
En el segundo caso, $x_2 = 0$ implica $\mu_2 \geq 0$ . Esta vez omitimos la mayor parte del álgebra y de la explicación porque son muy similares al caso anterior. Salto a la conclusión: por la ley de Walras el candidato al óptimo es $x_1=w/p_1$ y la condición necesaria para que sea un óptimo es
\begin{equation} \frac{\alpha}{\beta(x_1 +1)} \geq \frac{p_1}{p_2}. \end{equation}
Desde $\alpha / (x_1 +1)\beta > 0$ existe algún vector de precios ${p \gg 0}$ que satisface (12). Por lo tanto, $x_1=w/p_1$ es óptimo para los vectores de precios ${p}$ que satisfagan (13).
Finalmente, la demanda walrasiana en notación compacta es
\begin{equation} x({p}, w) = \begin{cases} \bigg(\dfrac{w}{p_1}, 0\bigg) \quad &\text{ if } \ \dfrac{p_1}{p_2} \leq \dfrac{\alpha}{\beta(x_1 +1)} \\[5pt] \bigg(\dfrac{\alpha (w+p_2)}{p_1} - \beta, \, \dfrac{\beta (w+p_1)}{p_2} - \alpha \bigg) \quad &\text{ if } \ \dfrac{\alpha}{\beta(x_1 +1)} < \dfrac{p_1}{p_2} < \dfrac{\alpha (x_2 +1)}{\beta}\\[5pt] \bigg(0,\dfrac{w}{p_2}\bigg) \quad &\text{ if } \ \dfrac{p_1}{p_2} \geq \dfrac{\alpha (x_2 +1)}{\beta} \end{cases} \end{equation}
