Estoy siguiendo y tratando de comprender plenamente una famosa e interesante obra de Bentolila y Saint-paul (2003) . Intentan explicar los movimientos de la cuota de los factores en términos de una relación entre la cuota del trabajo ( $LS$ ) y la relación capital-producto ( $k$ ). Para resumir al máximo, parten de una función de producción general con progreso tecnológico que aumenta el trabajo y rendimientos constantes a escala:
$$Y_{i} = F(K_{i},B_{i}L_{i})=K_{i}f(l_{i}),$$
donde $l_{i}=\frac{B_{i}L_{i}}{K_{i}}.$ Y demuestre que bajo los supuestos microeconómicos habituales de equilibrio (es decir, que el trabajo recibe su producto marginal), existe una función única $g(\cdot)$ tal que:
$$S_{Li} = g(k_{i}).$$
donde $S_{Li}=\frac{w_iL_i}{p_iY_i}$ la participación de la mano de obra en los ingresos de las industrias, con $w_i$ que denota el salario, $p_i$ el precio del producto y $k_i=\frac{K_i}{Y_i}$ es la relación capital-producto.
Luego, en la página 6 del documento, emplean la definición estándar de elasticidad de sustitución a la función de producción anterior, es decir $\sigma_{i}=\frac{d(K_i/L_i)}{d(r/w)}\cdot \frac{r/w}{K_i/L_i}$ para obtener el siguiente resultado:
$$\sigma_{i}=\frac{f'(l_{i})}{l_{i}f''(l_{i})}\left [1-\frac{l_{i}f'(l_{i})}{f(l_{i})} \right ]$$
Estoy intentando hacer todas las derivaciones, pero no encuentro la forma de derivar esta última fórmula con el mismo resultado. ¿Hay alguien que pueda ayudarme y mostrarme los pasos?
