Equilibrio de Bayes-Nash y corrección de creencias

Question

Define un juego bayesiano de la siguiente manera: $$G = \left\langle I, \left(A_i,T_i,(p_{t_i})_{t_i \in T_i}, u_i \right)_{i \in I} \right\rangle$$

• $I$ es el conjunto de jugadores
• $A_i$ es el conjunto de acciones para el jugador $i$,
• $T_i$ es el conjunto de posibles tipos para el jugador $i$,
• $p_{t_i} \in \Delta(T_{-i})$ son las creencias del jugador $i$ con respecto a los tipos de los otros jugadores. $(T_{-i}=\times_{j \ne i}T_j)$
• $u_i : A \times T \rightarrow \mathbb{R}$ es la función de utilidad del jugador $i

Entonces se define un equilibrio de Bayes-Nash de la siguiente manera:

Un equilibrio de Bayes-Nash (puro) es un perfil de funciones de elección estratégica $(\sigma_i:T_i \rightarrow A_i)_{i \in I}$ tal que, $\forall i \in I, \forall t_i \in T_i, \forall a_i \in A_i$,

$$\sum_{t_-{i}}p_{t_i}(t_{-i}) \cdot u_i(\sigma_i(t_i), \sigma_{-i}(t_{-i}); t_i, t_{-i}) \geq \sum_{t_-{i}}p_{t_i}(t_{-i}) \cdot u_i(a_i, \sigma_{-i}(t_{-i}); t_i, t_{-i}) $$ donde, para cada $t_{-i}, \sigma_{-i}(t_{-i}) = (\sigma_j(t_j))_{j\ne i}$.

Y ahora mi pregunta: ¿Es correcto afirmar que esto implica que, en un BNE, cada jugador (o más bien, cada tipo de cada jugador) responde mejor dadas sus creencias sobre los tipos de los otros jugadores, pero que no hay nada en un BNE que defina las creencias que un jugador (o tipo de jugador) tiene sobre los tipos de los otros jugadores? Es decir, ¿en un BNE, un jugador (o tipo de jugador) podría tener una creencia degenerada (poniendo toda la probabilidad en algún $t_j^*$ para el jugador $j$) en un equilibrio en el que $t_j \ne t_j^*$? En términos más simples, ¿pueden las creencias de un tipo de jugador sobre el tipo de otro jugador estar equivocadas en un BNE?

Answer 1

Creo que tu definición es incorrecta, o al menos incompleta.** Normalmente, en un juego bayesiano, se asume que hay una distribución previa en $T$ (donde $T = \times_i T_i$). Esta distribución se llama "prior común" y se asume que es conocimiento común que los tipos se eligen según esta distribución. En este caso, la creencia de cada jugador $i$, $p_i$, se obtiene mediante actualización bayesiana en $T_i$ y este prior; y en NEB el jugador $i$ debe estar mejor respondiendo a esta creencia.

La suposición de un prior común y una regla de actualización bayesiana (que es lo que da nombre a este concepto de solución, después de todo) significa que los jugadores no pueden estar equivocados, simplemente desinformados. En otras palabras, un jugador con creencia posterior $p_i$ es correcto sobre la distribución de tipos de otros jugadores condicionado a la suya, aunque no sabe cuáles son las realizaciones que tienen.

** Edición. El texto de Osborne y Rubenstein menciona que es posible definir un juego más general en el que cada jugador tiene una distribución previa diferente (no hay un prior común). Así que tu definición no coincide con su definición más general. Supongo que en dicho caso dos jugadores pueden tener opiniones incompatibles, por lo tanto podrías decir que alguien debe estar incorrecto. Dicho todo esto, la gran mayoría de juegos bayesianos asumen un prior común.

Answer 2

Su definición está omitiendo que en cada juego bayesiano cada jugador debe tener una prior $p_i\in\Delta(\prod_{i\in I}T_i)$, esta puede ser la misma para todos los jugadores (asunción de prior común) o diferente.

Se debe tener en cuenta que la existencia de una prior ya impone restricciones sobre los tipos de creencias que un jugador puede tener (estas se llaman jerarquías consistentes de creencias en la literatura, básicamente esto restringe a los jugadores a pensar que alguien es de tipo A, pero se comporta como un tipo B, u otras inconsistencias que son un poco difíciles de explicar en inglés), en cualquier caso, las creencias de los jugadores no pueden ser esquizofrénicas.

La parte bayesiana es que sus creencias intermedias (después de aprender su propio tipo) deben ser bayesianas. Por ejemplo, no pueden tener una creencia a priori de que los tipos son elegidos por la naturaleza de manera independiente y con igual probabilidad, y después de aprender su tipo asignar probabilidad 1 a que otro jugador sea de algún tipo. Esto no sería bayesiano. Dado que usted definió creencias en la etapa intermedia, es difícil ver cómo se están disciplinando las creencias.

Como han mencionado otras personas, cuando hay un prior común, se imponen restricciones adicionales sobre la consistencia de las creencias entre los jugadores, esto no es necesario para definir un juego bayesiano. En ese sentido, un equilibrio bayesiano solo restringe las creencias para no ser esquizofrénicas o inconsistentes con el aprendizaje de su tipo. Si se asume el prior común, también se restringe a los jugadores a tener creencias consistentes entre ellos. Pero aparte de eso, no hay restricción sobre qué pueden ser las creencias a priori, por lo que pueden estar "equivocadas". Sin embargo, la mayoría de los economistas piensan que las creencias son creencias y decir que están equivocadas es inapropiado.

Answer 3

Supongamos que tenemos un juego bayesiano que involucra a dos jugadores, 1 y 2, con priors asimétricas. Este escenario plantea dos preguntas:

1. ¿Cuál es la fuente de la asimetría en los priors?
2. ¿Cómo saben los jugadores los priors de los demás?

En un entorno de priors comunes, estas preguntas no son relevantes, ya que cada jugador conoce sus propios priors y, por extensión, los priors del otro jugador también.

Para explicar la asimetría en los priors, podríamos considerar un juego de ajuste de priors. Sin embargo, si la asimetría en los priors proviene de una asimetría en los priors del juego de ajuste de priors, nos encontramos con el mismo problema. Por lo tanto, este juego debe tener priors comunes para proporcionar respuestas significativas a las preguntas planteadas.

Si el juego de ajuste de priors tiene priors comunes y una asimetría en los pagos o acciones lleva a priors asimétricas, entonces ambas preguntas son abordadas. En esta situación, podemos integrar el juego de ajuste de priors en el juego posterior, resultando en un juego de priors comunes.

Como resultado, un juego debe tener priors comunes para abordar eficazmente estas dos preguntas.

Pero, ¿necesitamos responder a estas preguntas?

Si no es así, entonces la restricción de Nash bayesiana pierde su impacto porque, si el prior es realmente no restringido, el posterior también es no restringido. Esto se debe a que siempre se puede encontrar un prior que produzca un posterior deseado casi en todas partes (en el sentido de la verosimilitud), ya que el posterior es igual al prior multiplicado por la verosimilitud. Por lo tanto, el prior deseado es igual al posterior dividido por la verosimilitud, excepto en un conjunto con una verosimilitud de cero. Para que la restricción de Nash bayesiana sea significativa, el prior debe estar adecuadamente restringido. Las restricciones naturales involucran cómo se forman los priors si son priors informados y cómo se comunican si son priors asimétricos. Los priors comunes no informados, por su naturaleza, no requieren restricciones adicionales.