Pregunta de ejemplo de pérdidas y ganancias gamma y delta

Question

Estoy tratando de obtener una comprensión básica de este ejemplo de escalera delta

Price  Delta
80     43
90     31
100    25
110    11
120    -5
130    -20
140    -12
150    10
160    15
170    30

con punto a 110

Así que es gamma larga al alza por encima de 130 pero corta inicialmente, y gamma corta a la baja.

Quiero saber de una manera fácil de entender, cuál es el delta y gamma P&L si el precio terminara en cada uno de los puntos de precio mencionados.

Mi entendimiento para decir 130 es

Delta = 11*(130-110) = 220
Gamma = ((-20-11) * (130-110)) /2  = -310
Total P&L = delta + gamma = -90

Por lo tanto, si el precio pasara de 110 a 170, entonces es

P&L from 110-130 = -90
P&L from 130-170 =
   Delta = -20 * (170-130) = -800
   Gamma = ((30-20) * (170-130))/2 = 200
   Total = -600
Total P&L = -90-600 = -690

Si esto es correcto, ¿no es lo mismo que el área bajo la curva? es decir, ¿puedo hacer una integral discreta?

Answer 1

En primer lugar, creo que has cometido un error en tus cálculos anteriores. Donde escribiste $(30-20)$ Creo que realmente querías decir $(30-(-20))$ es decir $30+20$ , lo que da lugar a una P&L gamma de $1000$ en lugar de $200$ . El total de sus ganancias y pérdidas sobre $[90,170]$ sería entonces $110$ en lugar de $-690$ . No importa para mi respuesta de cualquier manera, sólo pensé en señalarlo para los lectores confusos.

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Por definición, $\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$ , donde $V$ es el precio de un derivado financiero y $S$ es el precio de su subyacente.

Así que si $S$ experimenta un movimiento de $S_0$ a $S_1$ se deduce lógicamente que

$$\Delta V = V(S=S_1) - V(S=S_0) = \int_{S_0}^{S_1}{\Delta \mathrm{d}S}$$

Por lo tanto, su P&L es efectivamente el área bajo la curva. Ahora, desafortunadamente, lo que estás calculando aquí es no que. De hecho, al escribir su P&L como la suma de estos términos simplistas delta y gamma, lo que realmente está diciendo, matemáticamente, es:

$$\Delta V = \int_{S_0}^{S_1}{\Delta \mathrm{d}S} = \Delta(S=S_0)\cdot(S_1-S_0) + \frac{\Delta(S=S_1)-\Delta(S=S_0)}{2}\cdot(S_1-S_0)$$ es decir $$\Delta V = \frac{\Delta(S=S_0)+\Delta(S=S_1)}{2}\cdot(S_1-S_0)$$

Esto sería así si, por ejemplo $\Delta$ se supone lineal sobre $[S_0,S_1]$ pero, por desgracia, no es cierto en el caso general. Por ejemplo, sobre $[110, 130]$ , su calculado $\Delta$ es ligeramente cóncavo (tendría que ser igual a $4.5$ en $120$ ser lineal), por lo que tu estimación de las ganancias y pérdidas está ligeramente equivocada. En $[130,170]$ Al ser el intervalo más grande y la forma más compleja, el error es obviamente peor.

Una mejor estimación cuando se conocen algunos valores de $\Delta$ sobre un intervalo discreto sería suponer que es lineal a trozos entre las observaciones. Sería equivalente a utilizar tu método, pero sobre los intervalos más pequeños posibles, lo que de hecho es como sugieres lo mismo que hacer una integral discreta. En este caso

$$\int_{S_i}^{S_j}{\Delta \mathrm{d}S} = \sum_{k=i}^{k=j-1}\left(\frac{\Delta(S=S_k)+\Delta(S=S_{k+1})}{2}\cdot(S_{k+1}-S_k)\right)$$

En su caso concreto, el cálculo daría como resultado

$$\Delta V = \left(\frac{11-5}{2}+\frac{-20-5}2+\frac{-12-20}2+\frac{-12+10}2+\frac{15+10}2+\frac{30+15}2\right)\cdot10=85$$

Así que, como puedes ver, da un resultado bastante diferente ;-)