En primer lugar, creo que has cometido un error en tus cálculos anteriores. Donde escribiste $(30-20)$ Creo que realmente querías decir $(30-(-20))$ es decir $30+20$ , lo que da lugar a una P&L gamma de $1000$ en lugar de $200$ . El total de sus ganancias y pérdidas sobre $[90,170]$ sería entonces $110$ en lugar de $-690$ . No importa para mi respuesta de cualquier manera, sólo pensé en señalarlo para los lectores confusos.
Por definición, $\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$ , donde $V$ es el precio de un derivado financiero y $S$ es el precio de su subyacente.
Así que si $S$ experimenta un movimiento de $S_0$ a $S_1$ se deduce lógicamente que
$$\Delta V = V(S=S_1) - V(S=S_0) = \int_{S_0}^{S_1}{\Delta \mathrm{d}S}$$
Por lo tanto, su P&L es efectivamente el área bajo la curva. Ahora, desafortunadamente, lo que estás calculando aquí es no que. De hecho, al escribir su P&L como la suma de estos términos simplistas delta y gamma, lo que realmente está diciendo, matemáticamente, es:
$$\Delta V = \int_{S_0}^{S_1}{\Delta \mathrm{d}S} = \Delta(S=S_0)\cdot(S_1-S_0) + \frac{\Delta(S=S_1)-\Delta(S=S_0)}{2}\cdot(S_1-S_0)$$ es decir $$\Delta V = \frac{\Delta(S=S_0)+\Delta(S=S_1)}{2}\cdot(S_1-S_0)$$
Esto sería así si, por ejemplo $\Delta$ se supone lineal sobre $[S_0,S_1]$ pero, por desgracia, no es cierto en el caso general. Por ejemplo, sobre $[110, 130]$ , su calculado $\Delta$ es ligeramente cóncavo (tendría que ser igual a $4.5$ en $120$ ser lineal), por lo que tu estimación de las ganancias y pérdidas está ligeramente equivocada. En $[130,170]$ Al ser el intervalo más grande y la forma más compleja, el error es obviamente peor.
Una mejor estimación cuando se conocen algunos valores de $\Delta$ sobre un intervalo discreto sería suponer que es lineal a trozos entre las observaciones. Sería equivalente a utilizar tu método, pero sobre los intervalos más pequeños posibles, lo que de hecho es como sugieres lo mismo que hacer una integral discreta. En este caso
$$\int_{S_i}^{S_j}{\Delta \mathrm{d}S} = \sum_{k=i}^{k=j-1}\left(\frac{\Delta(S=S_k)+\Delta(S=S_{k+1})}{2}\cdot(S_{k+1}-S_k)\right)$$
En su caso concreto, el cálculo daría como resultado
$$\Delta V = \left(\frac{11-5}{2}+\frac{-20-5}2+\frac{-12-20}2+\frac{-12+10}2+\frac{15+10}2+\frac{30+15}2\right)\cdot10=85$$
Así que, como puedes ver, da un resultado bastante diferente ;-)
