Transformación de la función de pago $w_c=(\sqrt{y}-K)^+$

Question

Estoy trabajando en un proyecto en el que cotizo opciones de compra de la UE escritas sobre el índice VIX.

La función de pago de interés es la siguiente

$w_c=(\sqrt{y}-K)^+$

donde K es el precio de ejercicio e y es el valor de $VIX^2$

La transformada de Fourier de esta función tiene la forma

$\hat{w_c}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1-\text{erf}(K\sqrt{-\phi})}{(\sqrt{-\phi})^3}$

Aquí $\phi$ es la variable de transformación.

Me gustaría saber más sobre cómo llegar desde $w_c$ a $\hat{w_c}$ .

He intentado buscar en diferentes tablas de transformación, pero sin suerte.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

La transformada de Fourier es \begin{equation} \hat{w}_c= \int_{-\infty}^\infty (\sqrt{y}-K)^+ e^{-i\phi y}dy = \int_{K^2}^\infty (\sqrt{y}-K) e^{-i\phi y}dy \end{equation}

Ahora haz un cambio de variable con $t=\sqrt{i\phi y}$ y resolver la integral resultante.