Me referiré a los tipos libres de riesgo (RFR) para mayor generalidad, en lugar de OIS o SOFR. Hay dos dimensiones en su pregunta, las trataré por separado.
¿Cómo se ajusta la superficie del LIBOR para valorar las opciones RFR?
Cuando se carece de comillas de opciones RFR, creo que no hay una solución evidente. Algunas indicaciones que yo consideraría:
- A partir de la evidencia anecdótica que he visto para el LIBOR en USD frente al SOFR, así como para el LIBOR en GBP frente al SONIA, probablemente deberíamos esperar que las superficies de vol para el LIBOR y el RFR sean más o menos similares, con diferencias del orden de $\pm$ 5bps. Esto no es sorprendente, ya que el RFR sustituirá al LIBOR, por lo que podemos esperar razonablemente que el mercado cotice a niveles similares. De ahí que se pueda elegir la superficie del LIBOR tal y como está para valorar los productos RFR: en cualquier caso, esta solución es temporal hasta que se desarrolle la liquidez en las opciones RFR.
- En el caso de la libra esterlina, el tipo de RFR de sustitución es el SONIA (reformado), que existe desde hace mucho más tiempo que el SOFR del USD o el ESTER del EUR. Los datos parecen indicar que el mercado de opciones SONIA está más desarrollado que otros RFR. Por ejemplo, los datos de la ISDA muestran que hubo \$46.7Bn of notional traded in GBP SONIA options or cap/floors during Q1 2021, against \$ 14,7Bn para el SOFR en USD, aunque el número de operaciones es mayor para el USD (401 frente a 315 operaciones para el SONIA en GBP), véase [4]. (1) . Así que podría comparar las superficies del GBP LIBOR y del SONIA, inferir una base entre estos vols, y aplicarlo a otras monedas como el USD.
¿Cómo se ajusta un vol a futuro para valorar una opción a futuro?
Para esta cuestión, existen respuestas más concretas. En un marco normal en el que se puede utilizar la fórmula de Black, los resultados de [1], [2] y [3] muestran que un caplet RFR retrospectivo requiere un ajuste de su varianza total. Esto se debe a que la volatilidad del tipo compuesto disminuye progresivamente durante el periodo de devengo a medida que se fijan más y más fijaciones, mientras que para un tipo orientado al futuro (como el LIBOR) la fijación se establece de una vez por todas al principio del periodo de devengo.
Mientras que los trabajos mencionados proporcionan pruebas bajo el supuesto de la capitalización continua, yo derivaré un resultado similar bajo la capitalización diaria, que corresponde a la práctica real del mercado.
Supongamos que tenemos una estructura de plazos de los tipos de interés a plazo a un día $r_i(t):=r(t,t_{i-1},t_i)$ con fijación de fechas $T=t_0,\dots,t_{n-1}$ y fechas de pago $t_1,\dots,t_n=T+\Delta$ a lo largo del periodo de devengo (y de capitalización) $[T,T+\Delta]$ . Ignorando los fines de semana y los días festivos, suponemos que cada tarifa tiene el mismo periodo de devengo $\delta=t_i-t_{i-1}$ para todos $i$ , donde $\delta$ es de un día. También suponemos que cada tipo de interés a un día sigue un movimiento browniano con una cierta volatilidad. Por último, también existe una estructura temporal de los tipos LIBOR $L_t:=L(t,T,T+\Delta)$ que también suponemos que siguen un movimiento browniano.
Si se dispone de una superficie de volatilidad basada en el plazo (por ejemplo, la superficie de volatilidad del LIBOR), una suposición sensata es fijar las volatilidades de los tipos a plazo a un día entre $T$ y $T+\Delta$ sea igual a la volatilidad implícita del LIBOR $\sigma_{T,\Delta}$ para la caducidad $T$ y el tenor $\Delta$ (esto correspondería al puntero 1 anterior). Entonces, cada tipo de interés a un día se distribuye como $$\text{d}r_i(t)=\pmb{1}_{t<t_{i-1}}\sigma_{T,\Delta}\text{d}W_i(t)$$ donde la función indicadora está en el espíritu de [1], es decir, no más vol cuando la tasa es fija. Suponemos que los movimientos brownianos tienen correlación entre pares $\rho$ . Lo mismo ocurre con el tipo LIBOR (o cualquier otro tipo de interés a futuro): $$\text{d}L_t=\pmb{1}_{t<T}\sigma_{T,\Delta}\text{d}W(t)$$
Ahora definimos la tasa compuesta de RFR a futuro $R$ para tenor $\Delta$ de la siguiente manera: $$ R_t :=R(t,T,T+\Delta) :=\frac{1}{\Delta}\left(\prod_{i=1}^n (1+\delta r_i(t\wedge t_{i-1}))-1\right) $$
Tenga en cuenta que para $t<t_{i-1}$ el tipo de interés a un día aún no está fijado y el valor de $R$ se basa en las pernoctaciones a futuro, mientras que para $t\geq t_{i-1}$ la tasa se determina ahora.
Ahora, consideremos una cápsula LIBOR, este producto tiene el siguiente pago en el tiempo $T+\Delta$ : $$V_{\text{Libor}}(T+\Delta)=(L_{T}-K)^+$$
Por otro lado, una cápsula RFR retrospectiva paga en esa misma fecha: $$V_{\text{Rfr}}(T+\Delta)=(R_{T+\Delta}-K)^+$$
Obsérvese una diferencia fundamental: el caplet del LIBOR $V_{\text{Libor}}$ es $\mathscr{F}_T-$ medible, mientras que por otro lado el pago de la RFR $V_{\text{Rfr}}$ es $\mathscr{F}_{T+\Delta}-$ medible. De aquí saldrá el ajuste. Ahora introducimos la siguiente aproximación de Taylor a $R$ : $$ \widetilde{R}_t :=\widetilde{R}(t,T,T+\Delta) :=\frac{1}{\Delta}\sum_{i=1}^n\delta r_i(t\wedge t_{i-1}) =\sum_{i=1}^n\omega r_i(t\wedge t_{i-1}) $$
donde $\omega:=\delta/\Delta$ . La varianza del tipo LIBOR caplet es fácil de obtener: \begin{align} V(L_T|\mathscr{F}_t) =E(L_T^2|\mathscr{F}_t) =\sigma_{T,\Delta}^2(T-t) \end{align}
Para facilitar la exposición, supongamos que $t<t_0$ . La varianza de la tasa de captación de RFR puede aproximarse por la varianza de $\widetilde{R}_{T+\Delta}$ : \begin{align} V(R_{T+\Delta}|\mathscr{F}_t) &\approx E(\widetilde{R}_{T+\Delta}^2|\mathscr{F}_t) \\[4pt] &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}w^2 E(r_i(t\wedge t_{i-1})r_j(t\wedge t_{j-1})|\mathscr{F}_t) \\ &=w^2\sigma_{T,\Delta}^2\rho\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (t_{i-1}\wedge t_{j-1}-t) \end{align} Tenga en cuenta que: $$\sum_{j=1}^n(t_{i-1}\wedge t_{j-1}-t) =\sum_{j=1}^i(t_{j-1}-t)+(n-i)(t_{i-1}-t)$$ Por lo tanto: \begin{align} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(t_{i-1}\wedge t_{j-1}-t) %&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(t_{j-1}-t) %+\sum_{i=1}^n(n-i)(t_{i-1}-t) %\\ %&=\sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^n(t_{j-1}-t) %+\sum_{i=1}^n(n-i)(t_{i-1}-t) %\\ &=\sum_{i=1}^n(2(n-i)+1)t_{i-1} \end{align}
Utilizando el hecho de que $t_i=t_0+i\delta$ y después de algunas manipulaciones de las sumas, encontramos que: $$E(\widetilde{R}_{T+\Delta}^2|\mathscr{F}_t) =\sigma_{T,\Delta}^2\rho\left((T-t)+\frac{n\delta}{3}+\frac{\delta}{3n^2}-\frac{\delta}{n}\right)$$ Obsérvese que el tercer y cuarto término anteriores serán muy pequeños: $\delta$ es una acumulación nocturna, es decir, alrededor de 0,004 o 0,003 (dependiendo de su convención de recuento de días), mientras que $n$ es el número de fijaciones para el periodo de devengo, que debe estar entre 60 y 90 para un tenor de 3m. Por otro lado, tenemos que $n\delta=\Delta$ . Por lo tanto, ignorando los dos últimos términos, tenemos la siguiente aproximación a la varianza total de la tasa de captación RFR: $$V(R_{T+\Delta}|\mathscr{F}_t) \approx \sigma_{T,\Delta}^2\rho\left((T-t)+\frac{\Delta}{3}\right)$$ Esta es la misma expresión que se encuentra en [2] y [3] bajo una hipótesis de composición continua si $\rho=1$ . Porque $\widetilde{R}$ se distribuye normalmente, puede utilizar la fórmula de Black con la varianza anterior para fijar el precio de su cápsula RFR retrospectiva.
Algunas observaciones:
- El parámetro de correlación $\rho$ le permite cierta flexibilidad a la hora de marcar estas cápsulas, especialmente cuando el mercado aún está en desarrollo y no hay superficies de RFR vol. En particular, si el vol $\sigma_{T,\Delta}$ sale directamente de una superficie LIBOR, este parámetro de correlación podría utilizarse para marcar la base entre los volúmenes LIBOR y RFR.
- La volatilidad decreciente a lo largo del periodo de devengo se refleja en el vencimiento "ajustado" $(T-t)+\Delta/3$ que es evidentemente más elevado que el de un caplet a futuro en el que el tipo se fija en $T$ . En particular, asumiendo $\rho=1$ tenemos: $$ \sqrt{V(R_{T+\Delta}|\mathscr{F}_t)} \approx \sqrt{\alpha V(L_T|\mathscr{F}_t)} $$ donde: $$\alpha:=1+\frac{\Delta}{3(T-t)}$$ Para fijar el precio de los caplets hacia atrás, es posible que desee ajustar su superficie LIBOR vol por el factor $\alpha$ y luego alimentar los vols ajustados a la fórmula de Black.
La configuración anterior puede ser objeto de mejoras. Por ejemplo, es posible que desee especificar diferentes volúmenes para cada tipo de interés a un día, así como diferentes correlaciones entre pares: aunque tal vez no se justifique para plazos cortos como 1m, para un caplet RFR de 1y-6m, podría establecer los volúmenes a un día entre 1y y 1y3m al vol LIBOR de 1y-3m, mientras que para el resto se utiliza el vol LIBOR de 1y3m-3m y se establece la correlación para que coincida con la correlación entre los LIBOR de 1y-3m y 1y3m-3m.
Referencias
[1] Lyashenko, Andrei y Mercurio, Fabio. "Looking Forward to Backward-Looking Rates: A Modeling Framework for Term Rates Replacing LIBOR". Febrero de 2019. Disponible en SSRN.
[2] Piterbarg, Vladimir. "La reforma de los índices de referencia de los tipos de interés y los mercados de opciones". Marzo de 2020. Disponible en SSRN.
[3] Piterbarg, Vladimir. "La reforma de los puntos de referencia no es lineal". Revista Risk , septiembre de 2020.
[4] ISDA. "Revisión de la transición a los RFR: Primer trimestre de 2021". Abril de 2021. Disponible en ISDA SwapsInfo .
(1) Los datos de las operaciones son comunicados por la Depository Trust & Clearing Corporation (DTCC) y sólo cubren las operaciones que deben ser publicadas según la normativa estadounidense
