Prueba de la fórmula de ajuste de la convexidad

Question

Dejemos que $y_0$ sea el rendimiento de los bonos a plazo observado hoy para un contrato a plazo con vencimiento $T$ , $y_T$ sea el rendimiento de los bonos en el momento $T$ , $B_T$ sea el precio del bono en el momento $T$ y que $\sigma_y$ sea la volatilidad del rendimiento de los bonos a plazo.

Supongamos que $B_T = g(y_T)$ entonces expandiendo usando una serie de taylor se obtiene,

$$B_T = G(y_0)+(y_T-y_0)G'(y_0)+0.5G''(y_0)(y_T-y_0)^2$$

y luego tomando las expectativas obtenemos

$$E_T(B_T) = G(y_0)+E_T(y_T-y_0)G'(y_0)+0.5G''(y_0)E_T(y_T-y_0)^2$$

ya que estamos trabajando en el mundo del riesgo neutral, $E_T(B_T)=G(y_0)$ ,

y así

$$E_T(y_T-y_0)G'(y_0)+0.5G''(y_0)E_T(y_T-y_0)^2$$

Ahora, aparentemente $E_T[(y_T-y_0)^2]$ es aproximadamente igual a $\sigma_y^2y_0^2T$ pero no puedo ver por qué esta aproximación es verdadera.

Answer 1

Bueno, hay que saber cuál es el modelo estocástico que se utiliza para $y_T$ si asumes que es un movimiento browniano geométrico tienes este proceso:

$y_T = y_0 e^{\sigma W_T - \frac{1}{2} \sigma^2T} $

Si se calcula la expectativa y la varianza se obtiene

$ \mathbb{E}(y_T) = y_0$

y

$Var(y_T) = {y_0}^2( e^{\sigma^2 T }-1)$

Como $y_0 $ es constante tienes $\mathbb{E}((y_T-y_0)^2) = Var(y_T)+(\mathbb{E}(y_T)-y_0)^2$ (utilizando la fórmula de la varianza)

que da $\mathbb{E}((y_T-y_0)^2) = y_0^2 (e^{\sigma^2 T}-1)$ si tiene $\sigma^2 T$ pequeño puedes realizar una expansión de taylor y tendrás el resultado mostrado