Mostrar que las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para la maximización de la utilidad

Question

Tengo un presupuesto establecido

$$B=\{x=(x_1,x_2)\in R^2_+ \mid 2\sqrt{x_1}+x_2\le y\}$$

donde $y>0$ es el ingreso.

Suponiendo que las preferencias son estrictamente monótonas y convexas, quiero demostrar que las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para una solución interior al problema de maximización de la utilidad

**Mi solución**

Primer paso: Maximizo la utilidad sujeto al conjunto de presupuesto dado

Segundo paso: Calculo las condiciones de primer orden

Tercer paso: Uso la matriz hessiana.

Si el determinante de esta matriz hessiana H es negativo, entonces puedo decir que los FOCs son necesarios y suficientes. (¿Es esto verdad?)

Mi solución es así

donde$$u_{11}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_1^2}$$

$$u_{22}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_2^2}$$

$$u_{12}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_1 \partial x_2}$$

$$u_{21}={\partial^2 u(x_1, u_2)\over \partial x_1 \partial x_2}$$

No sé si esta respuesta es suficiente y correcta. Porque esta solución parece no ser suficiente. Por favor, comparte tus ideas sobre mi solución.

Muchas gracias.

Answer 1

Considera la siguiente situación: Las preferencias del consumidor están representadas por la función de utilidad $u(x_1, x_2) = x_1 + x_2$. Se observa que las preferencias son estrictamente monótonas y convexas. Ahora, que el ingreso sea cualquier $y > 2$. Entonces, el problema del consumidor es: \begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & x_1 + x_2 \\ \text{s.t.} & \ \ 2\sqrt{x_1} + x_2 \leq y \\ & x_1\geq 0, \ x_2 \geq 0 \end{eqnarray*} Ahora procedamos a configurar el Lagrangiano: \begin{eqnarray*} \mathcal{L}(x_1, x_2) = x_1+x_2 - \lambda(2\sqrt{x_1} + x_2 - y) +\mu_1x_1 + \mu_2x_2 \end{eqnarray*} Aquí están las condiciones necesarias de primer orden: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} & = & 1 - \dfrac{\lambda}{\sqrt{x_1}} + \mu_1= 0 \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} & = & 1 - \lambda + \mu_2= 0 \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} & = & y -2\sqrt{x_1} - x_2 \geq 0, \ \lambda\geq 0, \ \lambda(2\sqrt{x_1} + x_2 - y) = 0 \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \mu_1} & = & x_1 \geq 0, \ \mu_1\geq 0, \ \mu_1x_1 = 0 \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \mu_2} & = & x_2 \geq 0, \ \mu_2\geq 0, \ \mu_2x_2 = 0 \end{eqnarray*}

Verifica que una de las soluciones para el conjunto de condiciones anterior es $x_1^* = 1, \ x_2^* = y -2, \ \lambda^* = 1, \ \mu_1^* = 0, \ \mu_2^* = 0$,

Pero no es la solución al problema de maximización de utilidad mencionado anteriormente. Esto se debe a que la utilidad de $(x_1^*, x_2^*) = (1, y-2)$, es decir, $u(x_1^*, x_2^*) = 1 + y - 2= y-1$, es menor que la utilidad de otro paquete de consumo asequible $(x^{**}_1, x^{**}_2) = (0, y)$ ya que $u(x_1^{**}, x_2^{**}) = 0 + y = y$ y $2\sqrt{x_1^{**}} + x_2^{**} =y$.

Por lo tanto, las condiciones de primer orden no son suficientes para la maximización de la utilidad.

Answer 2

¡Hola juego veo eso bastante bien! No sé si ya has visto las condiciones de Khun Tucker ya que usas un Lagrangiano, porque el Lagrangiano es con ecuaciones y Khun Tucker con desigualdades, y como ves eso es una desigualdad y las condiciones de la matriz cambian, pero supongamos que no viste Khun Tucker y el Lagrangiano está bien, encuentro bien tu respuesta, ¡pero eso es porque la Utilidad también es convexa! Y tal vez considerando que el conjunto es compacto y cerrado ¡puedes mostrarlo en un gráfico.