Tasa entre la Caída Esperada y el Valor en Riesgo para la distribución $t$

Question

Si $X$ es una variable aleatoria con distribución $t$ de parámetro $\mathcal{v}$, ¿cómo puedo probar que $$ \lim_{\alpha \to 1^{-}} \frac{\mathrm{ES}_{\alpha}(X)}{\mathrm{VaR}_{\alpha}(X)} = \frac{\mathcal{v}}{\mathcal{v}-1}? $$ En el libro Gestión Cuantitativa del Riesgo: Conceptos, Técnicas y Herramientas por Alexander J. McNeil et al., encontré las siguientes fórmulas: $$\mathrm{ES}_{\alpha} = \frac {g_v(t_v^{-1}(\alpha))}{1- \alpha} \frac{v+(t_v^{-1}(\alpha))^2}{v-1} ,\qquad\mathrm{VaR}_{\alpha} = t_v^{-1}(\alpha)$$ donde $t_v$ denota la función de distribución del estudiante estándar y $g_v$ la función de densidad de la misma distribución. Pero tengo dificultades para evaluar dicho límite. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sea $u=t^{-1}_v(\alpha)$ y recordemos que $g_v(u)=c_v(v+u^2)^{-\frac{v+1}2}$ para alguna constante $c_v$. Por las fórmulas que proporcionaste, $$\begin{eqnarray*}\lim_{\alpha\to 1^-}\frac{\mathrm{ES}_\alpha(X)}{\mathrm{VaR}_\alpha(X)}&=&\lim_{\alpha\to 1^-} \frac{g_v(t^{-1}_v(\alpha))}{(1-\alpha)(v-1)\left(\frac{t^{-1}(\alpha)}{v+(t^{-1}(\alpha))^2}\right)}\\ =\lim_{u\to\infty} \frac{g_v(u)}{(1-t_v(u))(v-1)\left(\frac{u}{v+u^2}\right)}&=&\lim_{u\to\infty}\frac{(v+u^2)^{-(v-1)/2}u^{-1}c_v/(v-1)}{(1-t_v(u))}.\end{eqnarray*}$$ Esto tiene la forma $[0/0]$. La regla de L'Hopital nos da $$\frac{\frac{d}{du}\left[(v+u^2)^{-(v-1)/2}u^{-1}c_v/(v-1)\right]}{-g_v(u)}=\frac{c_v}{v-1}\frac{\frac{d}{du}\left[(v+u^2)^{-(v-1)/2}u^{-1}\right]}{-g_v(u)}$$ $$=\frac{c_v}{v-1}\frac{\left[-\frac{v-1}2(v+u^2)^{-(v+1)/2}2uu^{-1}+(v+u^2)^{-(v-1)/2}(-u^{-2})\right]}{-c_v(v+u^2)^{-(v+1)/2}}$$ $$=\frac{1}{v-1}\left[\frac{v-1}1+(v+u^2)(u^{-2})\right]=1+\frac{v+u^2}{(v-1)u^2}\to1+0+\frac1{v-1}=\frac{v}{v-1},$$ como se deseaba.