Equilibrio Bayes-Nash en la subasta

Question

Considere la posibilidad de que un vendedor ofrezca un único objeto a la venta a dos compradores con valoraciones independientes: el valor de cada postor se distribuye uniformemente en [0,1]. Supongamos que el comprador 1 presenta una oferta que el comprador 2 observa. El comprador 2 tiene entonces el derecho de "tanteo" para comprar el objeto a ese precio. Si se niega, el comprador 1 obtiene el objeto al precio que ofertó. ¿Cuál es la estrategia óptima para el comprador 1?

He intentado lo siguiente:

$$\pi_1(v_1,v_2)=p(v_2<\beta(v_1))(v_1-\beta(v_1))$$ $$=(1-\beta(v_1))(v_1-\beta(v_1))$$

Si esto es un equilibrio, debemos tener que

$$=(1-\beta(v_1))(v_1-\beta(v_1)) \geq (1-\beta(w))(v_1-\beta(w))$$

para todos $w\in[0,1]$ . Por lo tanto,

$$\left.\frac{\partial \pi_1(v_1,v_2,w)}{\partial w}\right|_{w=v_1}=-v_1\beta'(v_1)-\beta'(v_1)+2\beta(v_1)\beta'(v_1)=0$$

$$\iff\beta(v_1)=\frac{1+v_1}{2}$$

Pero esto me parece claramente erróneo, si $v_1=0$ ¿por qué el jugador debe sobrepujar? ¿Qué me falta?

Answer 1

Creo que tu único error fue escribir $\Pr(v_{2} < \beta(v_{1})$ incorrectamente. Debería serlo:

$$\begin{split} \pi_1(v_1,v_2)&=\Pr(v_2<\beta(v_1))(v_1-\beta(v_1))\\ &=F_{2}(v_2<\beta(v_1))(v_1-\beta(v_1))\\ &= \beta(v_1)(v_1-\beta(v_1))\\ \end{split}$$

$$\begin{split} \left.\frac{\partial \pi_1(w,v_{2})}{\partial w}\right|_{w=v_1} =v_1\beta'(v_1) - 2\beta(v_1)\beta'(v_1)&=0\\ \beta(v_1) &= \frac{v_{1}}{2}\end{split}$$

En términos generales, podemos considerar, por ejemplo, el tipo $1$ del jugador $1$ . Si puja según esta estrategia, su recompensa esperada es $1/4$ . Supongamos que elige cualquier otra cantidad de oferta $a$ . Entonces su recompensa esperada es $(1-a)F(a) = (1-a)a$ . Esto se maximiza claramente en $a = 1/2$ .