Equivalencia de la desviación estándar y la varianza como medida de riesgo - ¿ERROR?

Question

En la Teoría Moderna de la Cartera, a menudo veo que la gente parece considerar la Desviación Estándar y la Varianza como equivalentes. Ejemplo del propio Markowitz: "Hasta ahora he utilizado la desviación estándar (o de forma equivalente la varianza) de la rentabilidad como medida del riesgo de la cartera" (p.50, ver referencia más abajo).

Tengo las siguientes reflexiones al respecto (en un caso es inofensivo/correcto, pero erróneo en el segundo caso ):

1. Si hacemos una optimización ordinaria de la cartera, es decir, maximizar el rendimiento esperado para una varianza dada. Entonces la varianza y la desviación estándar son equivalentes, ya que existe una correspondencia uno a uno entre ellas. Por tanto, no importa qué medida de riesgo utilice en esta situación, ya que podemos pasar de una de las medidas a la otra de forma única.

2. Si queremos entender el riesgo, creo que la Varianza y la Desviación Estándar es NO ES EQUIVALENTE . Esto se debe a que la Desviación Estándar es en general sub-aditiva (es decir, la diversificación nunca te deja en peor situación) mientras que la Varianza es en general NO sub-aditiva (es decir, la diversificación puede dejarte en peor situación).

• Para una prueba de las propiedades subaditivas de la desviación estándar y la varianza, véase: https://courses.edx.org/c4x/DelftX/TW3421x/asset/coherence.pdf

Así que como conclusión: La desviación estándar y la varianza son NO equivalente.

¿Estoy pasando algo por alto?

Fuente: [Markowitz, H. M. (1976). Markowitz revisited.Financial Analysts Journal,32(5):47-52].

Answer 1

Estaría más en desacuerdo con la premisa inicial (es decir, el "hombre de paja" intelectual que luego matas) que con cualquiera de tus argumentos perfectamente convincentes que siguen.

Confío en que ambos aceptamos que stdev y var son monótonos por naturaleza, siendo cada uno el cuadrado (root) del otro... La premisa básica de Markowitz es, pues, gloriosamente indiferente a la medida que se utilice... Si el objetivo es maximizar los rendimientos para cualquier nivel de stdev o var aceptable; o minimizarlos para cualquier nivel requerido de rendimiento (objetivo). La indiferencia de Markowitz entre stdev y var es, pues, para mí, perfectamente defendible...

La cuestión es entonces si se debe intentar maximizar la rentabilidad con respecto a la volatilidad (es decir, MaxSharpe) o con respecto a la varianza (es decir, Kelly-betting)...

La primera es defendible en el sentido de que maximiza la probabilidad de un resultado positivo. La segunda es defendible, en el sentido de que maximiza la riqueza/crecimiento logarítmico.

Donde sospecho que está la falsa distinción/discotomía es exactamente en tu punto de que sólo uno es aditivo... Si sólo te preocupas por los rendimientos de 12m (o n meses), entonces la volatilidad/sigma importa. Pero si cambias tus horizontes temporales, obtendrás una "respuesta" diferente utilizando una medida de Sharpe que se basa en un stdev diferente (es decir, la volatilidad del tiempo root). Por lo tanto, MaxSharpe sólo tiene sentido si se elige un horizonte temporal específico. Si se elige cualquier otro horizonte, la probabilidad máxima de obtener beneficios será diferente.

Es decir, las carteras con el máximo p(beneficio) en los próximos 1d, 1w, 1m, 3m, 12, 3y, o 5y pueden/quieren/pueden ser muy diferentes. Precisamente porque los rendimientos (logarítmicos) son aditivos al tiempo pero las volatilidades no lo son (precisamente como tú dices).

Sí, este desajuste temporal desaparece utilizando varianzas en lugar de vols... pero entonces eso te lleva a otros lugares extraños que tal vez no desees visitar... como por ejemplo que creas que las acciones deberían retornar un 2% por encima del riesgo para un 14% de vol... provocando que tu posicionamiento "óptimo" sugiera apalancarse 10 veces en los mercados de valores a valoraciones históricamente ubérrimas ;-)

Resumiendo: apreciar que vol y var no son idénticos es, en efecto, útil; pero, igualmente, enfrentarlos entre sí raramente ayuda en ningún sentido pragmático. Supongo que el reto aquí es identificar si y cómo el uso de uno frente al otro podría ser realmente b gg rencia frente a la salvación de la cartera. Eso me parece difícil... pero estoy muy dispuesto a que me corrijan ;-)

muchas gracias por la reflexión, se agradece mucho. DEM