Ejemplo de un problema de maximización de la utilidad con una restricción presupuestaria no vinculante

Question

Dada una función de utilidad $U(x,y): \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ La maximización de la utilidad general se puede plantear de la siguiente manera: $$ \max_{x, y} U(x,y) \text{ s.t. } p_{x}x + p_{y}y \leq m $$ donde el $p_{i}$ son los precios, y $m$ es la renta total. En el caso Cobb-Douglas, por ejemplo, $$ U(x,y) = x^{\alpha} y^{1 - \alpha} $$ para algunos $\alpha \in (0,1)$ . Observamos que en Cobb-Douglas, cuanto más compras, más utilidad obtienes. Por lo tanto, su restricción presupuestaria debe cumplirse con igualdad, porque cuanto más gasta, más utilidad obtiene.

¿Cuáles son los ejemplos de funciones de utilidad que no tienen una utilidad marginal positiva de los ingresos después de algún punto? Se me ocurren funciones que tienen puntos de felicidad. Por ejemplo, si $U(x,y) = -(x-25)^{2} - (y-20)^{2}$ entonces $(25,20)$ es lo mejor que puedes conseguir, incluso si tus ingresos te permiten gastar más. ¿Cuáles son otros ejemplos de esto?

Answer 1

Asumiendo precios positivos, cualquier función de utilidad que no satisfaga la monotonicidad fuerte de al menos un bien tendría una restricción presupuestaria no vinculante. Ya que has pedido algunos ejemplos:

• $U(x, y) = 0$ ,
• $U(x, y) = -x$ .

Re: El comentario de Giskard.

No estoy seguro de haber utilizado el término correcto cuando dije "fuerte monotonicidad de al menos un bien". Para ser preciso, lo que quise decir fue

Dejemos que $U(x_1, x_2)$ sea la función de utilidad. La función tendría una restricción presupuestaria no vinculante si hay algunos $(x_1, x_2)$ tal que $dU/dx_1 \leq 0$ Y $dU/dx_2 \leq 0$ .