Demostrar que $V=\sum_{i=1}^n h_i(t)S_i(t)$ satisface la ecuación de Black-Scholes

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio.

Consideremos el modelo estándar de Black-Scholes, y n diferentes créditos contingentes simples con funciones de contrato $\phi_1,\dots, \phi_n$ . Sea

$$ V=\sum_{i=1}^n h_i(t) S_i (t) $$

denota el proceso de valor de una cartera autofinanciada y markoviana. Demuestre que V satisface la ecuación de Blach Scholes.

Primero desde $h_i$ es markoviano, $V$ será de la forma $V(t, S(t))$ . La ecuación es $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac12 \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rs \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 $$

Mi idea era calcular todas las derivadas parciales, y enchufarlas. Obtuve

$\partial V_t = \sum dS_i (S_i \partial h'_{i,t} + h_i)$

$\partial V_s = \sum \partial h_{i,s} S_i + h_i dS_i$

$\partial V_{ss} = \sum \partial h_{i,ss} S_i 2h'_s dS_i + h_i d^2S_i$

y desde aquí parece que he hecho algo mal.

Answer 1

Esto viene del capítulo 8 de la obra de Björk " Teoría del arbitraje en tiempo continuo " titulado " Integridad y cobertura ". El enfoque de la martingala y los modelos multidimensionales sólo se introducen en capítulos posteriores (respectivamente 10 y 13). Así que voy a escribir una respuesta que no se basa en ninguno de estos conceptos, sino en la noción de cobertura dinámica en marcas completas como sugiere el título del capítulo.

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Derivación completa

El ejercicio dice que estamos trabajando en " el estándar Black-Scholes ", es decir, con un activo de riesgo cuyo precio al contado $S_t$ sigue un GBM con volatilidad $\sigma$ y una cuenta del mercado monetario sin riesgo. El valor en el momento $t$ de 1 unidad de moneda invertida en esta última cuenta se denominará $B_t$ y el tipo sin riesgo $r$ . Suponemos que $S$ no paga dividendos, por lo que invertir en $S$ es una estrategia de autofinanciación.

Dejamos que $ (S_i(t))_{i=1}^N$ denotan el $t$ -valores de $N$ créditos supeditados al activo $S$ y la entrega de un pago $(\phi_i(.))_{i=1}^N$ al vencimiento $T$ . Entonces también dejamos que $$ V_t = \sum_{i=1}^N h_i(t) S_i(t) \tag{0}$$ denotan el $t$ -valor de una cartera compuesta por una suma ponderada de los $N$ los créditos contingentes definidos anteriormente.

$(V_t)_{t \geq 0}$ se supone que es un Markovian para que podamos escribir $V_t = \color{red}{V}(t,S_t)$ . Se deduce entonces, por el lema de Ito, que: $$ dV_t = \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial t} + \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial S} dS_t + \frac{\partial^2 \color{red}{V}}{\partial S^2} d \langle S \rangle_t \tag{A} $$ De momento, no utilizaremos este supuesto. Lo tendremos en cuenta para más adelante.

$(V_t)_{t \geq 0}$ también se supone que representa el valor de a autofinanciación proceso de riqueza. Por definición de la propiedad de autofinanciación y aplicando el lema de Itô sobre los precios de los créditos contingentes individuales, esto nos deja con \begin{align} dV_t &= \sum_{i=1}^N h_i(t) dS_i(t) \\ &= \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} dt + \frac{\partial S_i}{\partial S} dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_i}{\partial S} d\langle S \rangle_t \right) \tag{B} \end{align}

Considere la cartera de cobertura de autofinanciación $\Pi$ con $t$ -valor $$ \Pi_t = V_t - \alpha(t) S_t $$ De nuevo, por definición de la propiedad de autofinanciación y utilizando las identidades anteriores tenemos \begin{align} d\Pi_t &= dV_t - \alpha(t) dS_t \tag{1} \\ &= \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} dt + \frac{\partial S_i}{\partial S} dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_i}{\partial S} d\langle S \rangle_t \right) - \alpha(t) dS_t \tag{2} \end{align}

De lo anterior se desprende que la construcción de nuestra cobertura dinámica mediante la elección de $$ \alpha^*(t) = \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial S_i}{\partial S} \tag{3}$$ hace que las pérdidas y ganancias de la cartera de cobertura sean deterministas, o delta-neutrales, de manera que en el límite como $dt \to 0$ El resultado es cero casi con toda seguridad (cobertura perfecta).

Para esta elección particular de $\alpha^*(t)$ Por lo tanto, la cartera de cobertura debería ganar el tipo libre de riesgo en ausencia de oportunidades de arbitraje: $$ d(\Pi_t(\alpha^*)) = r \Pi_t(\alpha^*) dt $$

Construyendo sobre $(1)$ y $(2)$ y $(3)$ (y nuestra hipótesis de trabajo del GBM para $S$ para el término de variación cuadrática) $$ \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_i}{\partial S} \sigma^2 S^2 \right) dt = r \left(V_t - \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial{S_i}}{\partial{S}} S_t \right) dt $$

por lo que finalmente vemos que el precio de la opción $V_t$ debe verificar la PDE de precios $$ \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} + r S \frac{\partial S_i}{\partial S} + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 S_i}{\partial S^2}\right) - rV_t = 0 \tag{4} $$ $$ V_T = \sum_{i=1}^N h_i(T) \phi_i(S) $$

Recordando que podemos escribir $V_t = \color{red}{V}(t,S)$ de la propiedad markoviana e identificando los coeficientes de los 2 diferenciales de Itô $(A)$ y $(B)$ podemos reescribir la EDP anterior como $$ \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial t}(t,S) + r S \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial S}(t,S) + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 \color{red}{V}}{\partial S^2}(t,S) - r\color{red}{V}(t,S) = 0 \tag{5} $$ $$ \color{red}{V}(T,S) = \sum_{i=1}^N h_i(T) \phi_i(S) $$

que es efectivamente la EDP de Black-Scholes para $\color{red}{V}(t,S)$ .

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Derivación alternativa

Tomemos el problema al revés, como propones hacer en tu post original: $$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + r S \frac{V}{\partial S}(t,S) + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - rV(t,S) \stackrel{?}{=} 0 \tag{5} $$

Sabemos que $(V_t)$ es Markovian de modo que podemos escribir $$V_t = V(t,S) = \sum_{i=1}^N h_i(t) S_i(t,S) $$ donde $S_i(t,S)$ son los precios justos de los $N$ los créditos contingentes, es decir, las funciones que verifican la EDP individual de Black-Scholes con condiciones terminales que implican las funciones de pago $\phi_i(.)$ .

Las derivadas se derivan entonces del cálculo estándar: $$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) = \sum_{i=1}^N \frac{\partial h_i}{\partial t}(t) S_i(t,S) + \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial{S_i}}{\partial t}(t,S) $$ $$ \frac{\partial V}{\partial S}(t,S) = \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial{S_i}}{\partial S}(t,S) $$ $$ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) = \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial^2{S_i}}{\partial S^2}(t,S) $$ La clave aquí es observar que la derivada temporal puede simplificarse. Gracias a la propiedad autofinanciada El $h_i'(t)$ desaparece (ver las dos identidades $(A)$ y $(B)$ arriba, o este pregunta en el caso general en el que $h_i$ también depende de $S$ además de $t$ )

Introduciendo estas derivadas en la EDP de precios para $V$ junto con la definición de $V$ como la suma de $N$ afirmaciones contingentes conseguimos que efectivamente $$ \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t}(t,S) + r S \frac{S_i}{\partial S}(t,S) + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 S_i}{\partial S^2}(t,S) - rS_i(t,S) \right) = 0 $$ ya que las funciones $S_i(t,S)$ verificar la $N$ PDEs individuales de fijación de precios de Black-Scholes.