El coeficiente de especificación de mínimos cuadrados ordinarios logarítmicos pierde su interpretación cuando cambiamos una variable explicativa en una unidad?

Question

Bien, algo que es común en la literatura econométrica es que interpretamos los coeficientes en los modelos logarítmicos-lineales OLS de esta manera. Para explicarlo en el cuerpo principal:

$ln(y_i)=\beta_0+\beta_1X+u_i \Rightarrow \text{if } \Delta x = 1, \text{then } \text{%}\Delta y \approx 100\beta_1 $

Creo que es una muy mala aproximación, aunque probablemente mi razonamiento sea incorrecto (aunque entiendo la derivación de por qué se sostiene esto aprox).

Vale, un inciso:

$\frac{\dot{y(t)}}{y(t)} = g \Rightarrow ln(y_t) = gt + c $

También sigue eso:

$y_{t+1} \approx y_t (1+g \Delta t) $

Así que aquí, si introduzco un cambio de t = 1, y dejo que g = 1, y se duplicaría con cada cambio unitario en t, y por lo tanto deberíamos aproximar y como 2^x en lugar de algo de la forma e^x. Por supuesto, los cambios grandes en x estropean el cálculo.

Sin embargo, ¿no es introducir un cambio unitario en t (en el libro de texto de econometría, x es t) lo que hacen los libros de texto de econometría? Un cambio unitario en x -> 100% de cambio en y (g y beta_1 son análogos, por lo que g = 1 -> beta_1 =1) -> y se duplica aproximadamente con cada cambio en x -> y debería modelarse como algo de la forma 2^x, no e^x, y hay una diferencia considerable entre ambas, por lo que esto contradice el hecho de que la especificación implica que y tiene la forma e^x (en lugar de 2^x).

Espero que esto tenga sentido.

Answer 1

Cuando

$$\ln y = \beta_0 + \beta_1 x + u \implies y = \exp\{ \beta_0 + \beta_1 x + u\}$$

$$\implies \partial y / \partial x = \beta_1 y \implies \frac{\partial y / \partial x}{y} = \beta_1.$$

Así que vemos que $\beta_1$ es el cambio marginal en $y$ debido a cambios infinitesimales en $x$ como proporción de su nivel. Por lo tanto, la precisión de la aproximación

$$\beta_1 = \frac{\partial y / \partial x}{y} \approx \frac{\Delta y / \Delta x }{y}$$

$$\implies \Delta x = 1: \beta_1 \approx \frac{\Delta y }{y}$$

no es otra cosa que el problema general de inexactitud de la aproximación que surge cuando sustituimos una derivada (cambio infinitesimal) por un cambio proporcional disreto-intervalo.

En el caso concreto tenemos

$$y(x+1) - y (x) = \exp\{ \beta_0 + \beta_1 x + \beta_1 +u\} - \exp\{ \beta_0 + \beta_1 x + u\}$$

$$ = y(x)\cdot (e^{\beta_1 -1}) \implies \frac{\Delta y(x+1)}{y(x)} = (e^{\beta_1} -1).$$

Obtenemos

y verificamos la sabiduría popular de que la aproximación es lo suficientemente precisa para el propósito del análisis económico si $\beta_1 \in [-0.1,\; 0.1]$ y tal vez para un intervalo mayor, si un punto porcentual no es crítico para los fines de la investigación específica.

Answer 2

La fuente de la aproximación:

Dada, $\ln(Y_i)=\beta_0+\beta_1X_i+u_i$ para un cambio unitario en $X$ es decir, $X_{i+1}-X_i=1$ tenemos:

\begin{align} \frac{Y_{i+1}-Y_i}{Y_i} &= e^{\beta_1+\Delta u_i}-1 \end{align}

Para los pequeños $x$ usamos la expansión de Taylor para decir..: $e^x \approx1+x$ . Usando lo anterior obtenemos:

$$\frac{\% \Delta Y}{100} \approx \beta_1+\Delta u$$

Esta aproximación es buena cuando $\beta_1$ es bastante pequeño. En su ejemplo, usted ha tomado $\beta_1=1$ lo que hace que sea una mala aproximación.

Considere su ejemplo con $g=0.1$ .

\begin{align} \frac{y_{t+1}-y_t}{y_t} &= e^g-1 \\ &=1.1052 - 1 \tag{for $g=0.1$} \\ & \approx g \end{align}