Intentemos un enfoque sencillo, ignorando la diferencia entre la varianza de la muestra y la de la población, y asumiendo que el proceso es simplemente el browniano estándar, sin deriva ni término sigma. La generalización debería ser fácil.
Definimos un proceso Y como igual al browniano estándar, pero estamos suponiendo un muestreo finito con diferencia entre dos observaciones igual a $\Delta t$ . Así que nuestro proceso comienza en cero:
$Y_0=B_0=0$
Y los incrementos se distribuyen normalmente:
$ \left. Y_k \right|Y_{k-1}=N\left[Y_{k-1},\Delta t\right]$
Podemos escribir los valores del proceso en los puntos de observación $\left(t_1,t_2,\dots,t_n\right)$ utilizando las normales estándar, $Z_k$ de la siguiente manera:
$Y_1=\sqrt{\Delta t}\,Z_1$
$Y_2=\sqrt{\Delta t}\left(Z_1+Z_2\right)$
$\vdots$
$Y_n=\sqrt{\Delta t}\left(Z_1+Z_2+\dots+Z_n\right)$
Ahora calcularemos la varianza realizada de la muestra (¡nótese que no estoy prestando atención a n y n-1 según la suposición simplificadora!) del proceso como sigue:
$\sigma^2=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n{ \left(Y_k- E \left[ \left. Y_k \right|{Y_{k-1}}\right]\right)^2}$
Que en términos de Z es:
$\sigma^2=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n{ \left(\sqrt{\Delta t} Z_k\right)^2}$
$=\frac{\Delta t}{n} \sum_{k=1}^n{ Z_k^2}$
Y ya sabes que la suma de los cuadrados de las n Normales es Chi-cuadrado con n grados de libertad, de ahí la discusión en los comentarios. La media es igual a DF, así que si tienes $n=\frac{1}{\Delta t}$ observaciones por año, entonces la varianza media será igual a $\Delta t$ :
$E \left[ \sigma^2\right]=\frac{\Delta t}{n} n=\Delta t$
Y su varianza anualizada será simplemente $n \Delta t=1$ . Así que la respuesta es la D, como dice Alex "Se distribuye aleatoriamente según una distribución Chi Cuadrado centrada en el 20%"
