¿Cuándo es una solución numérica la única forma de obtener una solución para BS?

Question

Solo ahora estoy leyendo sobre Finanzas Matemáticas, entiendo la derivación de la ecuación de BS con opciones Europeas de tipo vanilla. En la página siguiente de mi libro comienza a adentrarse en la obtención de soluciones exactas para la ecuación de BS para opciones Euro, y el capítulo introductorio sobre métodos numéricos tiene esto que decir:

[...] Hay muchos ejemplos (particularmente de modelos multifactoriales) donde no es factible o incluso no es posible reducir el problema a una ecuación de difusión de coeficiente constante; en este caso, hay poco margen de maniobra aparte de usar diferencias finitas en la ecuación de BS [...]"

No hay enlaces a estos modelos o capítulos relevantes en el libro. He buscado en Google "black scholes multifactorial" y no estoy encontrando nada fácil de comprender.

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Pregunta:

¿Podría alguien guiarme a través de una instancia de la ecuación de BS usando opciones Europeas que no se puedan resolver analíticamente? ¿Quizás algunas referencias para la derivación?

En un primer pensamiento pensé que tenía algo que ver con el tipo de opción (Europea sobre Americana) pero parece que también se pueden obtener soluciones para las opciones Americanas.

Answer 1

Esta es mi primera respuesta aquí en StackExchange.

En la ecuación estándar de BS, la incertidumbre está impulsada puramente por los shocks brownianos y, por lo tanto, es un modelo de un solo factor de riesgo. Sin embargo, es posible extender este modelo y agregar otros factores de riesgo y obtener un modelo multifactorial para fijar precios de opciones. Por ejemplo, puedes hacerlo introduciendo incertidumbre en las tasas de interés o en el proceso de volatilidad.

Uno de los modelos multifactoriales ampliamente utilizados es el llamado modelo de Heston, donde el proceso de volatilidad se modela adicionalmente como un proceso estocástico. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Heston_model. En el modelo de Heston también puedes fijar precios de opciones sin un método de diferencia finita, pero hay modelos multifactoriales más complicados que no podrías resolver sin métodos numéricos.