Cualquier solución interior para $u(x,y) = min\left \{ x,y \right \}^{2} + max\left \{ x,y \right \}$ ?

Question

¿Estarán todas las soluciones en la esquina o la cúspide en el centro nos dará alguna solución interior? Esto es por la intersección de la línea de presupuesto.

Estoy recibiendo este tipo de forma:

Pero no estoy seguro de que haya una solución interior. Si la hay, no podemos usar la diferenciación debido a la cúspide. Creo que sólo habrá soluciones de esquina, pero depende de la forma de la curva de indiferencia.

Answer 1

Dado que los dos segmentos del CI se alejan del origen, las únicas soluciones posibles están en las esquinas o en $x=y$ .

Escriba $p_x$ y $p_y$ para los precios, y $M$ para el presupuesto.

Supongamos que intentamos establecer una solución de esquina en la que sólo se consume uno de los dos bienes. Como la utilidad es simétrica, tiene sentido gastar todo el dinero en el bien que sea más barato. Supongamos que se trata del bien $x$ . Entonces tenemos $x=\frac{M}{p_x}>0=y$ y $u=x$ .

Lo mejor $x=y$ paquete que se puede permitir es tal que $x p_x+x p_y=M\iff x=y=\frac{M}{p_x+p_y}$ . La utilidad es entonces $$\frac{M^2}{(p_x+p_y)^2}+\frac{M}{p_x+p_y}.$$

Deberías ser capaz de calcular fácilmente una condición en $M$ tal que el haz con $x=y$ es óptima: $$M>\frac{p_y(p_x+p_y)}{p_x}.$$

Se puede ver esta dependencia de M si observamos un gráfico de contorno de las curvas de indiferencia:

Answer 2

La respuesta anterior debe completarse con esta respuesta. No puedes decir simplemente "la gráfica parece cóncava". Tienes que poner un poco de trabajo, al menos si fueras mi alumno.

Dejemos que $x> y$ sin pérdida de generalidad (la función objetivo es simétrica). Entonces tenemos $U(x,y) = y^2+x$ . Como esto es creciente en ambas variables, podemos ver de inmediato que nuestra restricción ( $x+py \leq M$ ) se vinculará (puede proporcionar un argumento delta épsilon para esto si lo desea). Así, tenemos $U(x(y),y) = y^2+M-py$ . Esto es un polinomio, y encontramos que $y = 2/p$ es el único punto crítico y por la prueba de la segunda derivada es un mínimo local.

Ahora tenemos que considerar el caso $x=y$ . Esto es lo que la respuesta por encima de mí se puede insertar.

Que tengas un buen día. Ah, y $x=y$ es definitivamente un punto interior en este contexto. Aunque técnicamente esa solución está en la frontera del conjunto de elección. La única razón por la que es un caso especial es que la función no es diferenciable allí.