Cambio de variables de Gatheral para la EDP de volatilidad estocástica

Question

Esto está tomado del libro de Gatheral "The Volatility Surface", donde intenta pasar de la ecuación 2.3 a la ecuación 2.4.

Tenemos la siguiente EDP,

$$ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}vS^2\frac{\partial ^2 V}{\partial S^2} + \rho\eta vS\frac{\partial ^2 V}{\partial S\partial v}+\frac{1}{2}\eta^2v\frac{\partial ^2 V}{\partial v^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV-\lambda(v-\bar{v})\frac{\partial V}{\partial v} = 0 $$

Utilizando un cambio de variables,

$$ x=\ln{\frac{Se^{r\tau}}{K}}, \tau = T-t $$

mostrar que se reduce a

$$ -\frac{\partial C}{\partial \tau}+\frac{1}{2}v\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} -\frac{1}{2}v\frac{\partial C}{\partial x} +\frac{1}{2}\eta^2v\frac{\partial ^2 C}{\partial v^2} + \rho\eta v\frac{\partial ^2 C}{\partial x\partial v} - \lambda(v-\bar{v})\frac{\partial V}{\partial v} = 0 $$

Mi trabajo es el siguiente...

Tenemos $C(x,v,\tau)=V(Ke^{x-r\tau}, v, T-\tau)$ . Las derivadas parciales son,

$$ \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial t} &= \frac{\partial V}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial t}\\ &=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial t}\\ &=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{1}{S}(-rS)(-1)-\frac{\partial V}{\partial \tau}\\ &= r\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial V}{\partial \tau}\\ \frac{\partial V}{\partial S} &= \frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S}=\frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial x} \\ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}&= \frac{1}{S}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S}\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial x} \\ &=\frac{1}{S^2}\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}-\frac{\partial V}{\partial x} \right)\\ \frac{\partial V}{\partial S\partial v} &= \frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial V}{\partial v}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial S}\frac{\partial V}{\partial v} = \frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial x\partial v} \end{aligned} $$

Sustituyendo en la EDP original, desgraciadamente obtengo

$$ r\frac{\partial C}{\partial x}-\frac{\partial C}{\partial \tau}+\frac{1}{2}v\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} -\frac{1}{2}v\frac{\partial C}{\partial x} +\frac{1}{2}\eta^2v\frac{\partial ^2 C}{\partial v^2} + \rho\eta v\frac{\partial ^2 C}{\partial x\partial v} +r\frac{\partial C}{\partial x}-rC- \lambda(v-\bar{v})\frac{\partial V}{\partial v} = 0 $$

No estoy seguro de cómo deshacerse del $r\frac{\partial C}{\partial x}$ y $rC$ términos.

Creo que quizás me he dejado pasos cruciales en su comentario de que "Además, supongamos que consideramos sólo el valor futuro hasta el vencimiento C del precio de la opción europea en lugar de su valor hoy y definamos $\tau = T t$ ."

¿Puede alguien ayudar? Gracias.

Answer 1

En primer lugar, observe que tiene una errata en la definición del dinero. Debería ser

\begin{equation} x = \ln \left( F_{t, T} / K \right) = \ln \left( S e^{r \tau} / K \right). \end{equation}

Siguiendo la observación que ha citado, definimos entonces

\begin{equation} e^{-r \tau} C(x, \nu, \tau) = V(S, \nu, t). \end{equation}

Tenga en cuenta que $C$ es una función de $\tau$ y no $t$ - esto parece extraño en su notación. Las derivadas parciales correspondientes vienen dadas por

\begin{eqnarray} \frac{\partial V}{\partial t} & = & e^{-r \tau} \left( r C - r \frac{\partial C}{\partial x} - \frac{\partial C}{\partial \tau} \right), \\ \frac{\partial V}{\partial S} & = & e^{-r \tau} \frac{1}{S} \frac{\partial C}{\partial x}, \\ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} & = & e^{-r \tau} \frac{1}{S^2} \left( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - \frac{\partial C}{\partial x} \right). \end{eqnarray}

Sustituyendo de nuevo se obtiene la ecuación (2.4) en el libro de Gatheral. También le recomiendo que distinga claramente entre $C$ y $V$ y no tienen $V$ en ambos lados de sus derivadas parciales.