fórmula del tipo de interés compuesto continuo a plazo

Question

Quiero derivar la fórmula del tipo de interés compuesto continuo a plazo según la FRA.

El tipo fijo es $K$ y la nocional es $N$ , $\delta=T_1-T_0$ .

$t<T_0<T_1$ el titular de la FRA en el momento $T_1$ necesidad de pagar fijo $N\delta K$ y reciba la flotación $N(e^{y(T_0,T_1)\delta}-1)$

$P(T_0,T_1)$ es el valor del bono de cupón cero en $T_0$ que paga $1$ en $T_1$ entonces $$P(T_0,T_1)e^{y(T_0,T_1)\delta}=1$$

por lo que el pago de FRA en $T_1$ es $$N(e^{y(T_0,T_1)\delta}-1)-N\delta K=N(\frac{1}{P(T_0,T_1)}-1-\delta K)$$ esto es lo mismo que el caso de la tarifa simple (refiérase a página3 -página7 Esta ecuación es la misma que la segunda línea de la página 5)

por lo que el tipo de cambio a plazo compuesto continuo = tipo de cambio a plazo simple, esto es obviamente incorrecto, pero no puedo encontrar el error.

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caso de tarifa simple:

Answer 1

En el caso simple, tienes como primera ecuación en tu última diapositiva:

$\frac{P(t,T_0)}{P(t,T)}=1+\delta F(t,T_0, T)$

El equivalente en tiempo continuo, suponiendo una tasa constante a trozos, según tu pregunta, es:

$\frac{P(t,T_0)}{P(t,T)}=e^{y (T_0,T) \delta}$

Tomando el registro de ambos lados, y reordenando:

$\frac{1}{\delta} \ln {\frac{P(t,T_0)}{P(t,T)}}=y (T_0,T) $

La tasa continua a plazo debe ser inferior a la tasa simple a plazo. La razón por la que obtiene el mismo precio para ambos es porque los dos contratos intercambian pagos al final, y los precios de los bonos son fijos. Esencialmente, el forward continuo se compone "con más frecuencia" pero tiene un tipo más bajo. Si utiliza los mismos tipos de interés a plazo tanto en la capitalización simple como en la continua, obtendrá precios diferentes.

Para que el caso de tiempo continuo sea más coherente, un enfoque sencillo sería suponer que el tipo fijo k también se compone continuamente a lo largo del plazo. Entonces k estaría en la misma base que el flotante y se obtendría un resultado más interesante.