Función característica y distribución de una variable aleatoria

Question

Este es el ejercicio 4.3 de Bjork, Teoría del Arbitraje en Tiempo Continuo . $$ X_t = \int^t_0 \sigma(s)dW_s $$ $\sigma$ es una función determinista y $W_t$ es un movimiento browniano.

Me piden que encuentre la función característica de $X_t$ y así demostrando que $X_t$ se distribuye normalmente con media cero y varianza $\int^t_0 \sigma^2(s)ds$

He comprobado que la función característica es: $$ E[e^{iuX_t}]= \exp \left[-u^2/2 \int^t_0 \sigma^2(s)ds \right] $$ ¿Cómo puedo concluir que $X_t$ ¿se distribuye normalmente entonces?

Answer 1

La función característica (chf) define la función de distribución en una correspondencia única. Para $X$ Gaussiana con media $0$ y la varianza $\sigma^2$ el chf $E[e^{i u X}]$ que viene dado por $$ e^{-\sigma^2 u^2/2}. $$ Por lo tanto, si se identifica el término de la varianza, ya está hecho. La función característica es la de la distribución gaussiana. Así, la variable aleatoria $X_t$ es gaussiano.