Interpretación de las curvas de demanda y de costes

Question

Actualmente estoy empezando con el tema de los monopolios en la escuela y me encontré con el siguiente escenario:

Un monopolista se enfrenta a una curva de demanda dada por $Q = \frac {100} p$ y una función de costes dada por $C = 4Q$ . Necesito encontrar la elasticidad precio de la demanda (PED) así como el nivel óptimo de producción para el monopolista.

Me enseñaron que $MR = P(1 + \frac 1 \epsilon) = MC$ , donde $\epsilon$ = PED.

Sé que cualquier productor produce en el punto donde $MR = MC$ Pero antes de que pueda proceder a resolver el PED, me pregunto cómo, en este caso, puede $MR = MC$ ?

Si no me equivoco, según mis cálculos, $MR = 0$ y $MC = 4$ . ¿Cómo interpreto esto?

Entonces, como $MR \neq MC$ ¿Cómo puedo proceder con esta pregunta?

Y cualquier explicación intuitiva sobre cómo puedo calcular el PED y el nivel óptimo de salida será muy apreciada :)

Answer 1

Su cálculo no es erróneo. En primer lugar, una forma más fácil e intuitiva de calcular los ingresos marginales es simplemente tomar la derivada de los ingresos totales.

Los ingresos totales son el precio por la cantidad $TR=P (Q) Q$ donde el precio sigue siendo función de la cantidad ya que a mayor precio la gente demanda menor cantidad de bienes (estoy expresando todo en términos de Q ya que es la variable de elección en su modelo). Sustituyendo la cantidad obtenemos:

$$TR= (100/Q)Q \implies MR = \frac{dTR}{dq} = 0$$

Por lo tanto, en este caso son efectivamente cero. Además, en este caso el problema de maximización de beneficios del monopolista ni siquiera tiene solución. El beneficio se da como los ingresos totales menos los costes totales, así que:

$$\Pi = TR-TC = (100/Q)Q -4Q$$

Si intentáramos derivar las condiciones de primer orden para la maximización sólo obtendríamos que 0=4 lo que significa que no hay solución. Para que quede claro, incluso programé una visualización de tu problema en R, así es como se ve donde la curva verde es la demanda, la línea roja es el ingreso marginal y la línea azul es el costo marginal.

Así que hay tres opciones que veo aquí:

1. Esta es una pregunta con trampa y el profesor espera que la respuesta correcta sea que no hay solución (ninguna solución en números reales no negativos estándar, ya que se podría argumentar que la cantidad producida debe ser lo más pequeña posible pero no cero (infinitesimal) desde el lado derecho - sin embargo eso no es un número real estándar).
2. Leíste mal el problema o te equivocaste en una parte del problema que te pedía crear primero la función de coste o demanda a partir de algún texto.
3. Tu profesor se equivocó al inventar el problema.

Por lo tanto, mi consejo es que primero te asegures de leer bien la configuración, si no hay ningún error, entonces ponte en contacto con tu profesor y pregúntale si es posible que se haya equivocado, ya que la RM es cero en tu caso. Si no hay ningún error, la solución es correcta.

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respuesta a la pregunta en los comentarios:

La elasticidad precio de la demanda se define como

$$\epsilon = \frac{d Q}{dp}\frac{p}{Q}$$

Así que en su caso será:

$$\epsilon = -\frac{100}{p^2} \frac{p}{\frac{100}{p}}= -\frac{100}{p^2} \frac{p^2}{100} = -1$$

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Addendum: En respuesta a los comentarios también he añadido la simulación para los beneficios del monopolista en esta situación asumiendo que la función de beneficios es:

a) $\Pi = \frac{100}{Q} Q -4Q$ - en color rojo

b) $\Pi = 100 - 4Q$ - en color azul