Varianza GARCH frente a la desviación estándar de la volatilidad

Question

En mi serie de preguntas relacionadas con GARCH y la volatilidad, por fin creo que lo he entendido bien. Me habéis ayudado mucho a aclarar mis dudas.

Mi siguiente pregunta es sólo una confirmación de mi sospecha. Es bien sabido que en finanzas, la volatilidad se entiende típicamente como la desviación estándar de los rendimientos. Sin embargo, el análisis GARCH ayuda a prever la varianza condicional de un proceso.

Supongamos que tengo una previsión ARIMA-GARCH para los retornos logarítmicos de una serie. GARCH nos da las ecuaciones:

$$y_t = x'_t + \epsilon_t$$ $$\epsilon_t|\psi_t ~ N(0, \sigma_t^2$$ $$\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1\epsilon_{t-1}^2 + ... + \alpha_q\epsilon_{t-q}^2 + \beta_1\sigma_{t-1}^2 + ... + \beta_p\sigma_{t-p}^2$$

Estas ecuaciones definen la varianza en el tiempo $t$ , $\sigma^2_t$ .

Si mi previsión devuelve un valor de $0.05$ para la previsión de 1 paso adelante, entonces puedo simplemente tomar root cuadrada de la previsión para obtener la volatilidad condicional, ¿correcto? Así que en este caso la previsión de la volatilidad en un paso adelante es:

$$\sqrt{0.05} = 0.1732$$

Este parece correcto para mí, pero estoy teniendo problemas para encontrar personas que están haciendo esto y quiero asegurarme de que esto es sólido.

Gracias.

Answer 1

Si su pregunta es: "Dada toda la información disponible hasta el momento $t$ si calculo la previsión a 1 periodo vista $r_{t+1}$ es la volatilidad condicional sobre $[t,t+1[$ dado por $\sqrt{r_{t+1}}$ ?", la respuesta es NO .

Para calcular la varianza condicional de un período por delante, debe utilizar las ecuaciones de su modelo (véase este que puede ayudarle a entender mejor el paradigma ARMA-GARCH).

He aquí un ejemplo ilustrativo. Consideremos un modelo ARMA(1,1)-GARCH(1,1) para el proceso de rentabilidad: \begin{align} r_t &= a + b r_{t-1} + c \sigma_{t-1} z_{t-1} + \sigma_t z_t \\ \sigma^2_t &= d + e \sigma^2_{t-1} + f r_{t-1}^2 \end{align} con $\{z_t\}_1^\infty$ iid $N(0,1)$ variables tales que: $$\mathbb{E}\left[r_t \vert \mathcal{F}_{t-1}\right] = a + b r_{t-1} + \tilde{c} z_{t-1} $$ para la parte ARMA (modelo de media condicional) y $$\mathbb{V}\left[r_t \vert \mathcal{F}_{t-1}\right] = d + e\sigma^2_{t-1} + fr^2_{t-1} $$ para la parte GARCH (modelo de varianza condicional).

Ahora suponga que observa una serie de $N$ devuelve $\mathbf{r} = \{r_1,...,r_N\}$ . Se calibra el modelo (normalmente por estimación de máxima verosimilitud) sobre estos rendimientos y se obtiene un conjunto de parámetros del modelo (aquí $a, b, c, d, e, f$ ). En este punto, todo lo que hay que hacer es utilizar la ecuación GARCH para calcular las varianzas condicionales latentes. Para ello, necesitará un valor inicial $\sigma_1$ para inicializar la recursión, en cuyo caso tendrás $$ \sigma^2_2 = d + e \underbrace{\sigma^2_1}_{\text{initialisation}} + f \underbrace{r^2_1}_{\text{$ 1^{st} $ observed return}} $$ $$ \sigma^2_3 = d + e \underbrace{\sigma^2_2}_{\text{computed @ step 1}} + f \underbrace{r^2_2}_{\text{$ 2^{nd} $ observed return}} $$ $$ \vdots $$ $$ \sigma^2_{N+1} = d + e \underbrace{\sigma^2_N}_{\text{computed @ step N}} + f \underbrace{r^2_N}_{\text{$ N^{th} $ observed return}} $$ Ahora que tienes la varianza condicional de 1 periodo por delante $\sigma^2_{N+1}$ sólo hay que tomar root cuadrada para obtener la volatilidad condicional.

La verdadera cuestión es cómo conseguir $\sigma_1$ ? Esto suele formar parte de la especificación del modelo y hay diferentes maneras de hacerlo, véase este post, especialmente el enlace en los comentarios de la respuesta aceptada (REM: la notación utilizada es $h_1 := \sigma^2_1$ )

Se puede ampliar fácilmente este enfoque a los modelos GARCH de orden superior.

Answer 2

Definamos un modelo ARMA-GARCH:

$y_{t} = \mu_{t} + \epsilon_{t}$ donde $\mu_{t} $ es el proceso de media condicional (parte ARMA(p,q), $\mu_{t} = E(y_{t}|\mathcal{F}_{t-1})$ ) .

Los errores (o residuos medios) están definidos por:

$\epsilon_{t} = \sigma_{t} \eta_{t}$

donde $\eta_{t}$ es un ruido blanco (0,1)

Entonces:

$Var[\epsilon_{t}]= \sigma_{t}^{2}$ .

a continuación, ver que :

$Var[y_{t} \vert \mathcal{F}_{t-1} ]= E\left[( y_{t} - E(y_{t} ))^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] = E\left[( y_{t} - \mu_{t})^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] = E\left[( \epsilon_{t})^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] = Var[\epsilon_{t}]$

así que

$Var[y_{t}]= \sigma_{t}^{2}$ .

ver que $Var[y_{t} \vert \mathcal{F}_{t-1} ] \neq E\left[( y_{t})^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] $

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Ex: AR(1)-GARCH(1,1)

$y_{t} =AR_{1}y_{t-1}+ \epsilon_{t}$

donde

$\epsilon_{t} = \sigma_{t} \eta_{t}$

y

$\sigma_{t}^{2} =w+ \alpha \sigma_{t-1}^{2} + \beta \epsilon_{t-1}^{2}$

$Var[y_{t} \vert \mathcal{F}_{t-1} ]= E\left[( y_{t} - E(y_{t} ))^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] = E\left[( y_{t} - AR_{1}y_{t-1})^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] = E\left[( \epsilon_{t})^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] =Var[\epsilon_{t}]= \sigma_{t}^{2}$

Ahora bien, si sólo calculas lo siguiente como sugieres:

$ Var[y_{t} \vert \mathcal{F}_{t-1} ]=E\left[( y_{t} )^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] = E\left[( AR_{1}y_{t-1}+ \epsilon_{t} )^{2}\vert \mathcal{F}_{t-1} \right] =...$

no encontrarás $Var[y_{t} \vert \mathcal{F}_{t-1} ]= \sigma_{t}^{2}$ (a menos que $AR_{1}$ =0)

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Para resumir se necesita modelar explícitamente la varianza condicional condicional ( $\sigma_{t}$ ) para poder pronosticarlo, no hay forma de obtenerla sólo a partir del proceso cond. medio, parece bastante lógico.