CDF&densidad del precio de las acciones modelada por el movimiento browniano estándar

Question

Supongamos que el precio de las acciones sigue el modelo $S(t) = S(0) exp ( mt ((^2)/2 ) t + W(t) )$ , (1) donde W(t) es un movimiento browniano estándar; > 0, S(0) > 0, m son algunas constantes.

Derive la FCD y la FDP para $S(t)/S(t-1)$ .

CDF:

$S(t)/S(t-1) = \frac{S(0)exp(mt-\frac{\sigma^2}{2}t+\sigma W(t))}{S(0)exp(m(t-1) -\frac{\sigma^2}{2}(t-1)+\sigma W(t-1))}$ utilizando el álgebra estándar y reescribiendo obtengo

$S(t)/S(t-1)=exp(m-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma(W(t)-W(t-1))$ . Usando eso $W(t)-W(t-1)$ es $N(0,1)$ Lo entiendo. $S(t)/S(t-1) = exp(m-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma Z)$ donde Z es $N(0,1)$

Por lo tanto, el CDF es $F(x)=P(exp(m-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma Z)\le x)$ = $F(x)=P(Z\le \frac{ln(x)-m+\frac{\sigma^2}{2}}{\sigma})$ que es $\Phi(\frac{ln(x)-m+\frac{\sigma^2}{2}}{\sigma})$ .

¿Es esto correcto?

Si el FCD es correcto, ¿puedo utilizarlo para derivar la PDF? ¿O cómo puedo calcular la FDP?

¿es posible calcular la correlación entre $S(t)/S(t 1)$ y $S(t 1)/S(t 2)$ de esto? ¿O cómo se puede hacer?

Answer 1

Estoy de acuerdo con su derivación.

$\mathrm{pdf}=\frac{d(\mathrm{CDF})}{dx}=\frac{d\Phi(\frac{ln(x)-m+\sigma^2/2}{\sigma})}{dx}=\frac{1}{x\sigma}\phi(\frac{ln(x)-m+\sigma^2/2}{\sigma})$ .

En cuanto a su pregunta sobre la correlación entre $S(t)/S(t-1)$ y $S(t-1)/S(t-2)$ no existe porque las Z~(0,1) no están correlacionadas serialmente.