Burdett y Mortensen (1998), Ecuación (22), Integral por partes pregunta

Question

Supongamos que $F(x)$ y $H(x)$ son funciones de prob dist acumulativas en el soporte de $[b_0,b_1]$ y sabemos lo siguiente:

$$u(x|F)=\int_{b_0}^{x}\frac{m}{1+k[1-F(b)]} dH(b)$$

y a partir de esto

$$[1+k(1-F(x))]du(x|F)=mdH(x)$$

También sabemos que

$$G(w)(m-u(b1|F))=\frac{k\int{b_0}^w [F(w)-F(x)]du(x|F)}{1+k(1-F(w))}$$

Luego, en el artículo, los autores obtienen el siguiente, que es la ecuación [22] en el artículo.

$$\frac{(m-u(b_1|F))dG(w)}{dF(w)}=\frac{kmH(w)}{[1+k[1-F(w)]]^2}$$

Realmente no entiendo cómo los autores obtuvieron esto. ¿Alguien puede ayudarme?