Estoy haciendo un curso de grado en Organización Industrial y al final del capítulo sobre la competencia de precios a corto plazo (modelos Bertrand y Cournot principalmente), hay una pregunta con la que estoy luchando. Es la siguiente:
Considere un mercado con dos empresas que fijan los precios y que producen un producto homogéneo. La función de demanda es q = D(p) = 1 - p, lo que implica la demanda inversa p = 1 - q1 - q2. Las dos empresas tienen restricciones de capacidad q1hat y q2hat , donde q1hat + q2hat = 3/5. El coste marginal de producción es cero para qi qihat e infinito para qi > qihat para cualquier i = 1,2. Por último, supongamos que los consumidores están racionados según la regla de racionamiento eficiente.
i. Demuestre que si q1hat = q2hat , existe un único equilibrio Bertrand-Nash donde p1 = p2 = p* = 1 - q1hat - q2hat
ii. Demuestre que cuando q1que q2que, el equilibrio de la parte (i) se rompe cuando las capacidades de las empresas son demasiado diferentes.
Así que para la parte i. básicamente adapté parte del material del capítulo y dije:
Para demostrar que se trata de un equilibrio de Nash, tenemos que demostrar que ninguna de las empresas tiene un incentivo para desviarse unilateralmente de este equilibrio.
¿Es rentable para la empresa 1 fijar un precio inferior a p*, dado que la empresa 2 fija el precio p*? La respuesta es no. Cobrando p* la empresa 1 vende exactamente q1hat. La empresa 1 no puede producir más de q1que de todos modos, por lo que al reducir su precio por debajo de p* simplemente vendería la misma cantidad a un precio inferior y, por tanto, obtendría menos beneficios.
¿Es rentable para la empresa 1 fijar un precio superior a p*, dado que la empresa 2 fija el precio p*? La respuesta es de nuevo no, pero el argumento es ahora más sutil. Supongamos que la empresa 1 fija un precio p*. Entonces tiene una demanda residual 1 - p - q2que, porque al precio p la demanda total del mercado viene dada por 1 - p y la empresa 2 vende q2que. La empresa 1 obtiene un beneficio = p(1 - p - q2hat). Utilizando la función de demanda inversa, la expresión del beneficio puede escribirse como (1 - q1 - q2hat)q1, donde q1 es la cantidad vendida por la empresa 1 al precio p. Obsérvese que la función de beneficio = (1 - q1 - q2hat)q1 es exactamente la misma que la función de beneficio de una empresa que elige la producción q dado que la empresa rival elige la producción q2hat. Esta función de beneficios es cóncava en q, es decir, ''(q1) < 0. Además, /q1 = 1 - 2q1 - q2hat. Evaluada en q1 = q1hat, esta derivada es igual a 1 - 2q1hat - q2hat, que es positiva porque q1hat + q2hat = 3/5 y q1hat = q2hat por lo que 2q1hat + q2hat = 9/10. En otras palabras, si la empresa 1 parte de q1hat y reduce marginalmente su cantidad, su beneficio disminuirá. Este resultado y la concavidad de la función de beneficios garantizan que cualquier reducción de q1 por debajo de q1hat reducirá el beneficio. Otra forma de decir esto es que si la empresa 1 parte de p* y aumenta su precio, su beneficio disminuirá.
Hasta aquí todo bien, la concavidad de la función de beneficio implica que cuando nos acercamos al beneficio marginal máximo, la pendiente (o la derivada del beneficio con respecto a q) estará cada vez más cerca de 0.
Ahora la parte ii. me pilla y no sé cómo atacarla. He pensado en plantear 2 casos, uno en el que q1hat se acerca a 3/5 y otro en el que se acerca a 0. La función de beneficio y su derivada son las mismas que en la parte i. y la restricción q1hat + q2hat = 3/5 sigue siendo aplicable por lo que puedo entender, por lo que la demanda no se puede cumplir. Para mí la parte de fijar una p menor sigue siendo la misma que en la parte i. Pero la parte de fijar una p mayor que p* no está tan clara.
¿Alguien puede ayudar?
