A continuación se presenta un resumen de la derivación de la ecuación de Black-Scholes tal y como se recoge en la wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes_equation#Derivation ) - Tengo una pregunta sobre el supuesto de que la cartera especificada se autofinancia.
Tenemos un mercado de dos activos:
$dB_t = B_t r dt $
$dS_t = S_t (\mu dt + \sigma dW_t)$
Introducimos una opción europea con precio $v(t,S_t)$ en el momento $t$ . Consideramos ahora una cartera compuesta por una opción y - $\frac{\partial v}{ \partial S}$ acciones. Por lo tanto, si $X_t$ es nuestra riqueza en el momento $t$ Debemos tener $X_t = v(t,S_t) - \frac{\partial v}{ \partial S} S_t$ .
Se afirma entonces que tenemos $dX_t = dv(t,S_t) - \frac{\partial v}{ \partial S} dS_t$ La cartera se autofinancia.
Sin embargo, me parece que si tenemos una tenencia constante de 1 opción en nuestra cartera, entonces la única manera de hacer que la cartera global se autofinancie es tener también una tenencia constante de acciones (de lo contrario, si aumentamos/disminuimos nuestra tenencia de acciones, ¿de dónde salen los fondos extra para esto?)
Normalmente, la forma en que he visto que se construyen las carteras de autofinanciación es que la participación en 1 activo (por ejemplo, el activo libre de riesgo) no se especifica explícitamente, y se determina por la condición de autofinanciación (es decir, la condición de que $X_t = \pi_t \cdot P_t$ y $dX_t = \pi_t \cdot dP_t$ , donde $\pi$ es la cartera y $P_t$ es el proceso de precios - esto da una ecuación lineal para la explotación no especificada).
En base a lo anterior, parece que para tener una cartera autofinanciada en la que mantenemos una opción constante 1 y $- \frac{\partial v}{ \partial S}$ acciones, también debemos tener una participación dinámica en el activo libre de riesgo que nos permita asegurar que siempre podemos tener $- \frac{\partial v}{ \partial S}$ acciones en nuestra cartera sin inyectar fondos externos (y romper así la condición de autofinanciación). Sin embargo, si tenemos también esta tenencia del activo sin riesgo en nuestra cartera, entonces nuestra ecuación para el proceso de riqueza ( $X_t = v(t,S_t) - \frac{\partial v}{ \partial S} S_t$ ) se vuelve incorrecta, ya que no estamos teniendo en cuenta nuestra participación en el activo libre de riesgo.
En resumen, no creo que la cartera de 1 opción y $-\frac{\partial v}{ \partial S}$ las acciones especificadas en la derivación de la ecuación de Black-Scholes de la wikipedia se autofinancian, pero la derivación hace uso del hecho de que [i]se autofinancian[/i]. ¿Me estoy perdiendo algo?
EDITAR:
Si la cartera compuesta por 1 opción y $-\frac{\partial V}{\partial S}$ acciones se autofinancia, entonces tenemos lo siguiente:
$X_t = V(t,S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}S_t$ (definición del proceso de riqueza)
$dX_t = dV(t,S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}dS_t$ (ya que se supone que la cartera se autofinancia)
$dX_t = dV(t,S_t) - d(\frac{\partial V}{\partial S}S_t)$ (simplemente por la definición de los diferenciales)
Al igualar el lado derecho de la segunda y tercera ecuación se obtiene:
$dV(t,S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}dS_t = dV(t,S_t) - d(\frac{\partial V}{\partial S}S_t)$
Así que $\frac{\partial V}{\partial S}dS_t = d(\frac{\partial V}{\partial S}S_t)$ .
Usando el lema de Ito en el lado derecho se obtiene: $\frac{\partial V}{\partial S}dS_t = d(\frac{\partial V}{\partial S})S_t + \frac{\partial V}{\partial S}dS_t + d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t$ .
Y así $d(\frac{\partial V}{\partial S})S_t + d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t = 0$ . (*)
Ahora, $d(\frac{\partial V}{\partial S}) = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}d<S>_t$ .
Por lo tanto, $d<\frac{\partial V}{\partial S},S>_t = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt$ .
Si se introducen estos datos en (*) se obtiene:
$\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}d<S>_t + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt = 0$ .
Por lo tanto, $\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}\sigma^2 S_t^2 dt + \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}S_t^2 \sigma^2 dt = 0$ .
El coeficiente de $dS_t$ debe ser cero, por lo que $\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = 0$ Así que $V(t, S) = f(t) + Sg(t)$ . Podríamos parar en este punto, porque sabemos que no podemos satisfacer la condición de contorno $v(T,S) = \max(0,S-K)$ y, por lo tanto, nuestra suposición de que podríamos cubrir una opción con una cartera autofinanciada compuesta por 1 opción y $-\frac{\partial V}{\partial S}$ acciones está mal.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que el coeficiente de $dt$ también debe ser cero, y como ya tenemos $\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = 0$ Esto da como resultado $\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial t} = 0$ . Desde $V(t, S) = f(t) + Sg(t)$ Esto implica que $g$ es constante. Por lo tanto, $\frac{\partial V}{\partial S}$ es constante, como he afirmado en los comentarios más abajo, es decir, para que esta sea una cartera que se autofinancia, la participación en las acciones debe ser constante.
