Precios de las acciones correlacionados y movimiento browniano geométrico

Question

Tengo dos acciones no correlacionadas que siguen un movimiento browniano geométrico, como sigue

$$\begin{aligned} dS_a &= \mu_aS_adt + \sigma_aS_adW\\ dS_b &= \mu_bS_bdt + \sigma_bS_b dW \end{aligned}$$

¿Una cartera de estos valores también sigue un movimiento browniano geométrico?

He determinado que

$$dS_a + dS_b = (\mu_aS_a + \mu_bS_b)dt + (\sigma_aS_a + \sigma_bS_b)dW$$

que no sigue el movimiento browniano geométrico. Ahora estoy atascado en lo que sucede si el $S_a$ y $S_b$ están correlacionados? ¿Cómo cambia esto?

Answer 1

Ha planteado una pregunta bastante vaga, pero intentaré responder a ella. Permita que $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad. Denotamos $X$ la cartera de dos acciones que siguen movimientos geométricos brownianos, es decir, para todo $t \in \mathbb{R}^+$ , $$\begin{align*} X_t = S^a_t + S^b_t \end{align*}$$ donde $S^a_t$ y $S^b_t$ tienen lo siguiente $SDE$ : $$\begin{align*} dS^{x}_t = \mu^x_tdt + \sigma^x_tdW^x_t \end{align*}$$ donde $x = \lbrace{a,b\rbrace}$ , $\mu^a \neq \mu^b$ y $\sigma^a \neq \sigma^b$ . Supongamos que $W_t^a$ y $W_t^b$ son dos movimientos brownianos correlacionados, es decir $d<W^a, W^b>_t = \rho dt$ . Aplicando la fórmula de Ito a la función $\phi(x,y) = x+y$ tenemos : $$\begin{align*} dX_t &= dS_t^b + dS_t^a \\ &= (S_t^a\mu^a_t + S_t^b\mu^b_t)dt + S_t^a\sigma^a_tdW^a_t + S_t^b\sigma^b_tdW^b_t \end{align*}$$ Como puede ver, suponemos que la cartera es una función lineal respecto a las acciones (es decir, la suma de las acciones). Por lo tanto, la correlación no cambiará nada ya que la segunda derivada de la función $\phi$ es cero. Así que la cartera no es un movimiento geométrico browniano.

Ahora, si queremos ser más generales podemos suponer que la cartera es una función de las acciones y lo suficientemente suave como para aplicar la fórmula de Ito (podemos suponer primero $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^2,\mathbb{R}_+)$ . Tenemos entonces: $$\begin{align*} dX_t = d\phi(S_t^a, S_t^b) = \partial_x\phi dS_t^a + \partial_y\phi dS_t^b + \frac12\left[\partial_{xx}\phi <S^a>_t + \partial_{yy}\phi <S^b>_t + 2\partial_{xy}\phi <S^a,S^b>_t\right] \end{align*}$$ Entonces podemos tratar de encontrar $\phi$ tal que $X$ es una BM geométrica.