Propiedades negativas de los rendimientos compuestos continuamente

Question

Estoy haciendo un curso online de introducción a las finanzas cuantitativas. Estoy tratando de entender mejor las propiedades y usos de los rendimientos continuamente compuestos. Específicamente para esta pregunta, ¿cómo se pueden tener rendimientos negativos menores al -100%? En un problema de ejemplo dado, hay un rendimiento mensual de cc de -.20. Se nos dice que si obtenemos esa misma RoR cada mes durante 12 meses, ¿cuál es nuestra rentabilidad en un año? Respuesta dada: 12 x (-.20) = -2.4 (-240%).

¿Tiene esto alguna utilidad práctica?

Answer 1

Lo que te falta es el cómputo continuo de la composición no funciona así. Si compones sobre n periodos de tiempo y una tasa de rendimiento de r, la fórmula es e^(r*n), ya que tienes que multiplicar los rendimientos con una base multiplicativa de 1. Si no, considera lo que el 0 hace a tu fórmula. Si obtengo un rendimiento cero, tengo un resultado cero que no tiene sentido. Sin embargo, en mi fórmula seguiría obteniendo el 1 que es lo que estoy empezando y por lo tanto el no efecto es el resultado previsto.

La capitalización continua daría e^(-.20*12) = e^(-2.4) = .0907, lo que supone un rendimiento del -91% por cada $100 invested, the person ends up with $ Quedan 9,07 al final. Puede ayudar a imaginar que la función e^(-x) se acerca asintóticamente a cero a medida que x tiende a infinito, pero eso es lo más malo que se puede hacer, así que uno no cruza al negativo a menos que uno quiera hacer retornos en un sistema de números complejos con números imaginarios aquí de alguna manera.

Para los que quieran el cómputo habitual, aquí estaría ese cómputo que es más brutal en realidad: Para tu caso sería (1-,20)^12=(0,8)^12=0,068719476736 lo que viene a decir que alguien acaba con un 6,87% al final. Para cada $100 had in the beginning they would end with $ 6,87 al final.

Piensa en alguien que empieza con $100 and take 20% off time and time again you'd see this as it would go down to $ 80 después del primer mes y luego baja a $64 the second month as the amount gets lower the amount taken off gets lower too. This can be continued for all 12 terms. Note that the second case isn't another $ 20 de pérdida pero sólo 16 dólares aunque es el mismo porcentaje en general.

Algunas tiendas minoristas pueden hacer descuentos en los descuentos por lo que esto puede suceder en la realidad. Si se descuenta el 50% de algo que ya está rebajado en un 50%, no es gratis, sino que ha bajado un 75% en total. Sólo para dar un ejemplo del mundo real en el que mientras piensas que una mitad y una mitad es un todo, tomar la mitad y luego la mitad de una mitad es sólo tres cuartos, siento decirlo. Podrías hacer esto con una manzana o una pizza si quieres un ejemplo de comida para considerar.

Por otro lado, consideremos el clásico caso de subida y bajada en el que una inversión sube un 10% y baja un 10%. A primera vista, deberían anularse y anularse mutuamente, ¿verdad? No, de hecho el rendimiento total baja un 1%, ya que el cálculo sería (1,1)(,9)=,99, que es ligeramente inferior a 1.

La capitalización continua puede ser un poco exótica desde el punto de vista del concepto matemático, pero la idea de manejar los medios geométricos y la forma de componer los rendimientos es algo que resulta bastante práctico para la gente.

Answer 2

No se puede utilizar la capitalización continua para rendimientos menores o iguales al 100% porque el logaritmo natural sólo se puede tomar para una cantidad positiva. Esta respuesta incluye la forma precisa de determinar r para el que mucha gente utiliza una aproximación.

Por ejemplo, utilizando un -20% de rendimiento mensual durante 12 meses:-

percent = 0.01;
RoR = -20 percent

-0.2

r = Log[RoR + 1]

-0.223144

P = 1;
t = 12;
A = P E^(r t)

0.0687195

Comprobación:

P = 1;
m1 = P*(RoR + 1);
m2 = m1*(RoR + 1);
m3 = m2*(RoR + 1);
m4 = m3*(RoR + 1);
m5 = m4*(RoR + 1);
m6 = m5*(RoR + 1);
m7 = m6*(RoR + 1);
m8 = m7*(RoR + 1);
m9 = m8*(RoR + 1);
m10 = m9*(RoR + 1);
m11 = m10*(RoR + 1);
m12 = m11*(RoR + 1)

0.0687195

A == m12

Verdadero

Ahora probando -100% de rendimiento mensual:-

RoR = -100 percent

-1.

r = Log[RoR + 1]

Indeterminado

¿Por qué? Porque un logaritmo natural sólo puede tomarse para una cantidad positiva.

Plot[Log[x], {x, -10, 10}]

Por lo tanto, este último cálculo no puede realizarse utilizando la composición continua (logarítmica).

Por supuesto, el cálculo puede seguir realizándose utilizando la capitalización normal. En el caso del -100%, los resultados se reducen a cero en el primer mes, pero el -150% produce un resultado más interesante:

RoR = -150 percent

-1.5

P = 1;
m1 = P*(RoR + 1);
m2 = m1 - (m1*RoR);
m3 = m2 - (m2*RoR);
m4 = m3 - (m3*RoR);
m5 = m4 - (m4*RoR);
m6 = m5 - (m5*RoR);
m7 = m6 - (m6*RoR);
m8 = m7 - (m7*RoR);
m9 = m8 - (m8*RoR);
m10 = m9 - (m9*RoR);
m11 = m10 - (m10*RoR);
m12 = m11 - (m11*RoR)

-11920.9

Answer 3

Bueno, se puede tener fácilmente tasas por debajo del -100%.

Supongamos que empiezo con $100, and end up with $ 9 después de un año.

¿Cuál era mi tasa de rendimiento? Podría ser del -91%, del -181%, del -218% o del -241%, o algo más, dependiendo del método de capitalización.

Siempre tenemos que la cantidad final es igual a la cantidad inicial por un factor de crecimiento G, y podemos expresarlo mediante una tasa r y una fracción de recuento diario T.

1. Compuesto simple: B(T) = B(0) * ( 1 + r*T )
2. Compuesto anual: B(T) = B(0) * ( 1 + r )^T
3. Compuesto trimestral: B(T) = B(0) * ( 1 + r/4 )^(4*T)
4. Compuesto mensual: B(T) = B(0) * ( 1 + r/12 )^(12*T)
5. Compuesto continuo: B(T) = B(0) * exp( r*T )

En este caso, tenemos T = 1, y B(T) = B(0) * 0,09, por lo que:

1. Sencillo: 0,09 = 1 + 1 * r, por lo que r = (G-1)/T = (0,09-1)/1, por lo que r = -91%.
2. Anual: 0,09 = (1 + r)^1, por lo que r = G^(1/T)-1 = 0,09^1-1, por lo que r = -91%.
3. Trimestral: 0,09 = (1 + r/4)^(4*1), por lo que r = 4(G^(1/4T)-1) = 4(0,09^(1/4)-1), por lo que r = -181%
4. Mensualmente: 0,09 = (1 + r/12)^(12*1), por lo que r = 12(G^(1/12T)-1) = 12(0,09^(1/12)-1), por lo que r = -218%.
5. Continuo: 0,09 = exp(r*1), por lo que r = ln(G)/T, por lo que r = -241%.

Así que, dependiendo de cómo compongamos, tenemos una tasa de rendimiento del -91%, -181%, -218% o -241%.

Esto lo ilustra muy bien:

• no tiene sentido (o, en todo caso, es impreciso) hablar de una tasa o rendimiento sin especificar el método de composición (y además el método de fracción de recuento de días, aunque aquí sólo usamos T=1)
• Mientras que todos estos métodos de capitalización se ajustan bien a los tipos cercanos a cero, no lo hacen para tipos muy grandes (o muy pequeños),
• La capitalización continua tiene la agradable propiedad de que la media geométrica de los factores de crecimiento se sustituye por la media aritmética de las tasas (de capitalización continua).
• para la capitalización simple y anual, no tiene sentido hablar de tasas inferiores al -100%. Para una capitalización más frecuente (semestral, trimestral, etc.) o continua, podemos tener tasas inferiores al -100%.