Capacidad media que condiciona el haber aceptado una oferta

Question

Existe un continuo de trabajadores entre 0 y 1. Estos tienen capacidad $\alpha\sim U[0,2]$ . Una empresa les ofrece un salario $v$ y tiene beneficios

$$ \pi = (\rho \alpha-v) n(v) $$

donde $n(v)$ es la fracción de trabajadores que aceptan el trabajo en $v$ y $\rho>0$ es un parámetro de productividad.

Los trabajadores aceptan la oferta si el salario es mayor que la opción externa $2\alpha^2$ . Calcule los beneficios esperados de la empresa.

Creo que la proporción de personas que aceptan la oferta es (por la uniformidad de $\alpha$ ):

$$n(v) = \mathbb{P}[2\alpha^2 \leq v] = \mathbb{P}[\alpha \leq \sqrt{v/2}] = \sqrt{v/2}.$$

Los beneficios esperados están condicionados a la aceptación y, por tanto, también lo está la capacidad esperada:

$$ \mathbb{E}[\alpha \vert \alpha \leq \sqrt{v/2}] = \int_0^\sqrt{v/2} \frac{\alpha f(\alpha)}{\mathbb{P}[\alpha \leq \sqrt{v/2}]}d\alpha = \frac{1}{4n(v)}\left[\alpha^2\right]_0^\sqrt{v/2} $$

por la definición de probabilidad condicional.

Me gustaría volver a comprobar que estoy en lo cierto y que la capacidad media dada la aceptación no es simplemente el punto medio entre $\sqrt{v/2}$ y 0 (es decir, la capacidad se distribuye uniformemente entre el salario propuesto y 0). Creo que esto es incorrecto, ya que la aceptación no se distribuye uniformemente, el condicionamiento de la aceptación sesga la distribución de la capacidad observada después de la aceptación.

Answer 1

Si $\alpha \sim U$ Entonces, ¿cómo es que no hay ninguna expectativa en su función de beneficio? El $\alpha$ es desconocido y que $\alpha$ -Tipos que la empresa obtiene depende del salario $v$ . Esto debería reflejarse en la función de beneficios.

A continuación, su $n(v)$ parece asumir que $\alpha \sim U[0,1]$ , pero usted establece $\alpha \sim U[0,2]$ . Supongo que se trata de una errata y he editado tu pregunta. Si no es así, tienes que dividir tu $n(v)$ por dos, porque su densidad es $\frac{1}{2}$ en lugar de 1. Este límite superior se anula de todos modos.

Para cualquier distribución uniforme $\alpha<\widehat v$ , usted tiene $$\mathbb{E}[\alpha \vert \alpha \leq \widehat v] = \int_0^{\widehat v} \alpha \frac{1}{\widehat v}d\alpha = \left[\frac{1}{2\widehat v}\alpha^2\right]_0^{\widehat v}= \frac{\widehat v}{2} $$ Y en tu caso, es ${\widehat v}=\sqrt{v/2} \Rightarrow \mathbb{E}[\alpha \vert \alpha \leq \sqrt{v/2}] = \sqrt{v/8}$ . Si $\alpha \sim U[0,x]$ entonces la densidad es $1/x$ , pero también se tiene en cuenta $\alpha<\widehat v$ dividiendo por $\widehat v/x$ tal que $x$ se anula.

Por lo tanto, su función de beneficio esperado es $$\mathbb{E}[\pi(v)] = (\rho \sqrt{v/8}-v)\sqrt{v/2}.$$

La aceptación no sesga la distribución. Todos los tipos por debajo de un límite se aceptan, todos los demás se rechazan. Por lo tanto, la distribución condicionada a la aceptación es uniforme hasta el límite.

Si sustituye su $n(v)$ por $n(v)/2$ teniendo en cuenta el límite superior 2, se obtendría lo mismo.