Expectativas en espacios de probabilidad infinitos con sub álgebras sigma

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria (integrable) en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ . Supongamos que $\mathcal{G}$ es un sub- $\sigma$ -de la álgebra de $\mathcal{F}$ y que $Z=\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$ .

(a) Demuestre que: $\mathbb{E}(X-Z)=0$

(b) Que $Y$ sea una variable arbitraria $\mathcal{G}$ -variable aleatoria medible. Demuestre que: $\mathbb{E}[(X-Z)(Z-Y)|\mathcal{G}]=0$

(c) Demuestre que: $\mathbb{E}[(X-Z)(Z-Y)]=0$

(d) Supongamos que $\mathbb{E}(X-Y)=0$ . Demuestra que: Var $(X-Z)\le$ Var $(X-Y)$ .

Pista: Romper $X-Y = (X-Z)+(Z-Y)$ .

Las ideas que hay que demostrar tienen sentido para mí intuitivamente, pero no sé cómo formalizar la prueba en sí en un espacio de probabilidad infinito. He intentado abordarlo desde el punto de vista de un espacio de probabilidad finito, pero no creo que funcione.

Answer 1

Estás haciendo cuatro preguntas al mismo tiempo. Intentaré responder a la primera y tal vez usted pueda continuar con ella.

En primer lugar tenemos que entender la definición de la expectativa condicional da un campo sigma $Z=\mathbb{E}(X|\mathcal{G})$ . $Z$ es una variable aleatoria que satisface tres propiedades (por definición):

1. $Z$ es integrable, es decir $\mathbb{E}(|Z|) < \infty$ .
2. $Z$ es $\mathcal{G}$ -Medible.
3. $\mathbb{E}(Z \cdot 1_G ) = \mathbb{E}(X \cdot 1_G )$ para todos $G \in \mathcal G$ . Esta es la propiedad más importante.

Todas tus preguntas se pueden resolver con esta definición.

Para tu primera pregunta tomamos la propiedad 3 y ponemos $G = \Omega$ . Entonces obtenemos que $$ \mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Z \cdot 1_\Omega ) = \mathbb{E}(X \cdot 1_\Omega ) = \mathbb{E}(X). $$ Esto equivale a $$ 0 = \mathbb{E}(X - Z) = \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(Z). $$

Espero que esto ayude un poco.

Editar (parte b)

Para demostrar (b) hay que demostrar que la variable aleatoria $W = 0$ tiene las tres propiedades que definen a $\mathbb{E}((X-Z)(Z-Y)|\mathcal{G})$ . Las dos primeras son fáciles de demostrar. Para la tercera propiedad hay que demostrar que $$ \mathbb{E}((X-Z)(Y-Z) 1_G) = \mathbb E(W 1_G) = 0, \quad \text{for all} \ G \in \mathcal{G}. $$

Esto puede hacerse mediante un procedimiento clásico: primero se supone que $Y = 1_A$ Entonces se supone que $Y$ es una función simple, entonces suponemos que $Y$ es una variable aleatoria positiva (convergencia monótona), y finalmente podemos demostrarlo para la $Y$ .