¿Cómo se puede demostrar esto? (Optimización convexa)

Question

Considere los siguientes problemas de maximización:

1. $\max_{x} x -\gamma p(x)$ con sujeción a $x \in \Omega_1$

2. $\max_{x} x-\gamma (p(x) + q(x) )+K$ con sujeción a $x \in \Omega_2$

donde $\Omega_1 $ y $ \Omega_2$ son conjuntos convexos, $p(x) \geq 0 $ y $q(x) \geq 0$ para todos $x\in \Omega_2$ . También, $p''(x)>0$ y $q(x)$ es lineal en $x$ y $K>0$ es una constante.

Si para un determinado $\gamma = \bar{\gamma}$ el valor objetivo optimizado del problema 1 era mayor que el valor objetivo optimizado del problema 2, ¿el valor objetivo optimizado del problema 1 es siempre mayor que el del problema 2 para todos $\gamma > \bar{\gamma}$ ?

Demuestre o proporcione un contraejemplo para (1) $\Omega_1= \Omega_2$ y (2) $\Omega_1 \subset \Omega_2$ .

Dado que la mayor penalización proporcional a $\gamma$ se impone a la función objetivo del problema 2, esta afirmación parece correcta. He probado a utilizar la contradicción, en la que suponiendo que existe $\gamma'>\bar{\gamma}$ tal que el valor optimizado para el problema 2 es mayor que el del problema 1, pero con dificultades. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Toma $\Omega_1=\Omega_2=[0,0.5]$ .

Dejemos que $p(x)=x^4$ para que $p''(x)=12x^2>0$ en $(0,0.5)$ .

Dejemos que $q(x)=0.5x$ que es lineal en $x$ y $K=0.2>0$ .

Para $\bar\gamma=1$ ambas funciones objetivo alcanzan sus respectivos máximos en $x=0.5$ . Como muestra la siguiente figura, la función objetivo $(1)$ (curva azul) tiene un máximo mayor que el de la función objetivo $(2)$ (curva roja).

Pero para $\gamma=5>\bar\gamma$ función objetivo $(1)$ alcanza un valor máximo de aproximadamente $0.276$ mientras que la función objetivo $(2)$ alcanza un valor máximo superior de aproximadamente $0.309$ contradiciendo la afirmación de que $(1)$ sería siempre mayor que $(2)$ El máximo de la empresa para $\gamma>\bar\gamma$ .