Condiciones de holgura complementarias (Kuhn-Tucker)

Question

Consideremos el problema de maximizar una función suave sujeta a la restricción de desigualdad que $g(x) \leq b$ . La condición de holgura complementaria dice que

$$ \lambda[g(x) - b] = 0$$

A menudo se señala que, si la restricción es floja en el óptimo (es decir $g(x^*) < b$ ), entonces esta condición nos dice que el multiplicador $\lambda = 0$ . Estoy de acuerdo con esto. Sin embargo, también se ha dicho que, si la restricción "ata" (lo que implica que $g(x^*) - b = 0$ ), debemos tener $\lambda > 0$ . ¿Es esto cierto? Como cuestión lógica, no está inmediatamente implicada por la condición de holgura complementaria: podríamos tener tanto $g(x^*) - b = 0$ y también $\lambda = 0$ .

Editar: se ha demostrado aquí por qué podemos tener ambas cosas $\lambda = 0$ y $g(x^*) - b = 0$ (gracias a @markleeds por la indicación). Sin embargo, me pregunto si podemos tener $\lambda = 0$ mientras que la restricción también se une a (es decir, que marca una diferencia en la solución - nótese que esto es sutilmente diferente de la restricción que se mantiene con la igualdad). Sospecho que la respuesta es "no", dado que $\lambda$ refleja el efecto de relajar ligeramente la restricción en la función objetivo. No obstante, me gustaría que me lo confirmaran.

Answer 1

Es posible tener

$$g(x^*) = b\; {\rm and}\; \lambda^* = 0$$ .

Cuando el multiplicador es cero y la restricción es igual a cero, entonces

a) La restricción no es realmente "vinculante"

b) Por eso el multiplicador es cero.

¿Qué significa que "la restricción no es realmente vinculante"?

Significa que la solución $x^*$ que hace que $g(x^*) = b$ se elegiría aunque no se haya impuesto la restricción . En ese sentido, la restricción no es realmente vinculante Porque en realidad no nos prohíbe ir a donde queríamos estar, porque ya estamos allí.

Considere el sencillo ejemplo

$$\max_x \{-ax^2 + bx\},\qquad s.t. \;x \geq \frac{b}{2a} $$

El Lagrangean es

$$\Lambda = -ax^2 + bx + \lambda \left(x -\frac{b}{2a}\right)$$

y el f.o.c es

$$x = \frac{b+\lambda}{2a}$$ .

Pruebe los casos:

a) $\lambda^* = 0$ lleva a $x^* = \frac{b}{2a}$ , que es el f.o.c. no restringido también.

b) $\lambda^* > 0$ el f.o.c. indica inicialmente que $x^* > b/2a$ . Pero entonces la restricción no es vinculante y deberíamos tener $\lambda^* =0$ : contradicción.

Así vemos que en este caso la solución es

$$x^* = \frac{b}{2a},\;\;\; \lambda^* = 0.$$

Así que la restricción aparece para ser vinculante, pero realmente no lo es.

Answer 2

Su intuición es correcta. Digamos que usted sabe que $Z=X\cdot Y=0$ No sabes si $X=0$ o $Y=0$ o ambos son cero. Incluso si usted sabe que $X=0$ no tienes ni idea de si $Y=0$ , $Y<0$ o $Y>0$ .

Consideremos la función de utilidad potencialmente saciada: $$ \max_{X,Y} U(X,Y) = min(X+Y, 5)$$ $$ S.T. \:p_x X + p_y Y + p_z Z\leq M$$ Supongamos, para simplificar, que $p_x = p_y = p_z =1$ . En forma lagrangiana esto es: $$ \max_{X,Y} U(X,Y) = min(X+Y, 5) - \lambda (X+Y+Z-M) $$ Z es el bien de libre disposición, en el sentido de que consume dinero extra pero no proporciona ninguna utilidad. Si $M>5$ entonces la restricción presupuestaria es vinculante. Bajo esta condición, $\lambda$ es el valor sombra de más ingresos, y también es cero.

O, si esa función de utilidad no le conviene, considere: $$ \max_{X,Y} U(X,Y) = -(X+Y-5)^2 - \lambda (X+Y+Z-M) $$
Si $X+Y>5$ entonces el hogar quiere utilizar la libre disposición y establecer $X+Y=5$ . La restricción presupuestaria no se vincula y la UM de los ingresos es cero: $MU_{X+Y+Z=5}=-2(X+Y-5)=0$ .

Answer 3

Tienes razón. La segunda afirmación es lógicamente incorrecta. Para aclarar el punto, permítame escribir por conveniencia $\tilde{g}(x):=g(x) - b$ . Entonces, por la condición de holgura complementaria, tenemos

$$\lambda \cdot \tilde{g}(x) = 0 $$

que proviene de las condiciones de optimalidad de Kuhn-Tucker $\tilde{g}(x) \le 0$ (viabilidad primaria de la solución) y $\lambda \ge 0$ (doble viabilidad de la solución). Mediante estas restricciones, nos damos cuenta de que ambas pueden cumplirse como igualdades, pero no como desigualdades. Sin embargo, si $\lambda > 0$ entonces $\tilde{g}(x) =0$ . Esta afirmación es equivalente a la afirmación contra-positiva de que si $\tilde{g}(x) <0$ entonces $\lambda = 0$ . Observamos que podemos inferir de una restricción de desigualdad que la otra restricción debe ser igual. Sin embargo, no podemos inferir que si una restricción se cumple por igualdad, entonces la otra debe ser una desigualdad. Esto es una falacia.