La ecuación de Riccatti para el modelo de Cox-Ingerson-Ross

Question

(Mi pregunta)

He hecho los cálculos a medias, pero no encuentro cómo calcular la siguiente ecuación de Riccatti. Por favor, dígame cómo calcular esta La ecuación de Riccatti con sus procesos de cálculo. Si tiene otras soluciones, por favor hágamelo saber.

• Si B(s) satisface la siguiente E.D.O. (ecuación de Riccatti),

$$\begin{eqnarray} B'(s) + \beta B(s) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(s)^2 =1 \end{eqnarray}$$

• la respuesta debe estar por debajo. (Por favor, muestre los procesos de cálculo).

$$\begin{eqnarray} B(s)= \frac{ 2 \left( \exp(\gamma s) -1 \right) }{2\gamma +(\beta +\gamma)\left( \exp(\gamma s) -1 \right) } \qquad \mbox{with} \ \mbox{ $\gamma=\sqrt{ \beta^2+2\sigma^2}$} \end{eqnarray}$$

(Gracias por su ayuda de antemano).

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(Enlace cruzado)

He publicado la misma pregunta en https://math.stackexchange.com/questions/3333207/the-riccatti-equation-for-the-cox-ingerson-ross-model

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(Preguntas originales)

(1) Escriba el P.D.E. del precio del bono para la función $$\begin{eqnarray} P(t, T) = E^{ \mathbb{Q} } \left[ \exp \left( - \int^T_t r_s ds \right) \middle| r_t=x \right] \end{eqnarray}$$ (2) y demostrar que en el caso $\alpha =0$ el precio vinculante correspondiente $P(t, T)$ es igual a $$\begin{eqnarray} P(t, T) = \exp \left( - B(T-t) r_s \right) \end{eqnarray}$$ donde $t \in [0, T]$ y $$\begin{eqnarray} B(x)= \frac{ 2 \left( \exp(\gamma x) -1 \right) }{2\gamma +(\beta +\gamma)\left( \exp(\gamma x) -1 \right) } \end{eqnarray}$$ con $\gamma=\sqrt{ \beta^2+2\sigma^2}$ .

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(1) Mi respuesta

• Dado que el modelo de Cox-Ingerson-Ross tiene el siguiente S.D.E, su correspondiente P.D.E (es decir, el P.D.E de fijación de precios de los bonos) llega a la siguiente ecuación por el teorema de Feynman-Kac (o por el ejercicio 4.1.(1) ). Además, la condición terminal es $F(T, x)=1$ . $$\begin{eqnarray} dr_t= (\alpha - \beta r_t ) dt + \sigma \sqrt{r_t} dB_t \end{eqnarray}$$

• que modela las variaciones del proceso de tasa corta $r_t$ , donde $\alpha, \beta, \sigma$ y $r_0$ son parámetros positivos. Cuando el modelo es el Modelo Ho-Lee, $dr_t = \theta dt + \sigma dB_t$ Su P.D.E. está por debajo. $$\begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) + \theta \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 \partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) =0 \end{eqnarray}$$

• Entonces el Modelo de Cox-Ingerson-Ross tiene el siguiente P.D.E. $$\begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) + (\alpha - \beta x ) \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x\partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) =0 \end{eqnarray}$$

• Cuando $\alpha=0$ , $dr_t= - \beta r_t dt + \sigma \sqrt{r_t} dB_t$ , viene a continuación. $$\begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) - \beta x \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x\partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) =0 \end{eqnarray}$$

• Aquí, si el S.D.E es el modelo afín generalizado , se trata de lo siguiente $$\begin{eqnarray} dr_t= \left( \eta_t + \lambda_t r_t \right) dt + \sqrt{ \delta_t + \gamma_t r_t} dB_t \end{eqnarray}$$

• El S.D.E de el modelo afín generalizado se obtiene una fórmula de fijación de precios de bonos de la forma $$\begin{eqnarray} P(t, T) = \exp \left( A(T-t) +C(T-t)r_t\right) \end{eqnarray}$$

• Comparación de la fórmula de fijación de precios condicional de los bonos, $P(t, T) = \exp \left( - B(T-t) r_s \right)$ A la fórmula anterior, se llega a la siguiente. $$\begin{eqnarray} && A(T-t)=0 \\ &&C(T-t)r_t = - B(T-t) r_s \end{eqnarray}$$

• Dejemos que $F(t, x)=\exp \left( - B(T-t) x \right)$ . $$\begin{eqnarray} \partial_t F(t, x) &=& B'(T-t) x F(t, x) \\ \partial_x F(t, x) &=& -B(T-t) F(t, x) \\ \partial_{xx} F(t, x) &=&B(T-t)^2 F(t, x) \end{eqnarray}$$

• El P.D.E viene a continuación. $$\begin{eqnarray} &&\partial_t F(t, x) - \beta x \partial_x F(t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x\partial_{xx} F(t, x) -xF(t, x) \\ &&\qquad \qquad = B'(T-t) x F(t, x) - \beta x (-B(T-t) F(t, x)) \nonumber \\ && \qquad \qquad\qquad + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 F(t, x) -xF(t, x)\\ && \qquad \qquad = B'(T-t) x F(t, x) + \beta x B(T-t) F(t, x) \nonumber \\ && \qquad \qquad\qquad + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 F(t, x) -xF(t, x)\\ && \qquad \qquad\qquad =0 \end{eqnarray}$$

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(2) Mi respuesta

• Desde $F(t, x) \neq 0$ y $x \neq 0$ la ecuación anterior viene a ser la siguiente. $$\begin{eqnarray} && B'(T-t) x F(t, x) + \beta x B(T-t) F(t, x) \nonumber \\ && \qquad\qquad \qquad\qquad + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 F(t, x) -xF(t, x)\\ && \qquad \qquad = B'(T-t) x + \beta x B(T-t) + \frac{1}{2} \sigma^2 x B(T-t)^2 -x \\ && \qquad \qquad = B'(T-t) + \beta B(T-t) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(T-t)^2 -1 \\ &&\qquad \qquad =0 \end{eqnarray}$$

• Dejemos que $T-t=s$ se llega a la siguiente ecuación. $$\begin{eqnarray} B'(s) + \beta B(s) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(s)^2 =1 \end{eqnarray}$$

• Se descubre que es la ecuación de Riccatti por $A(s)=0$ .

(Gracias por su ayuda de antemano).

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Answer 1

Lo he resuelto yo solo. La siguiente es esta solución.

• Dejemos que $T-t=s$ se llega a la siguiente ecuación. $$\begin{eqnarray} B'(s) + \beta B(s) + \frac{1}{2} \sigma^2 B(s)^2 =1 \end{eqnarray}$$
• Se descubre que es la ecuación de Riccatti por $A(s)=0$ . Por lo tanto, se llega a la siguiente ecuación. $$\begin{eqnarray} B' = - \frac{1}{2} \sigma^2 B^2 - \beta B +1 \end{eqnarray}$$
• Como se trata de la ecuación de Riccatti, se encuentra la solución especial. Sea $B'=0$ . Entonces, se llega a las siguientes ecuaciones. $$\begin{eqnarray} && - \frac{1}{2} \sigma^2 B^2 - \beta B +1 =0 \\ && \sigma^2 B^2 + 2 \beta B - 2 =0 \\ && B = \frac{-\beta \pm \sqrt{ \beta^2 + 2 \sigma^2} }{\sigma^2} \\ && B = \frac{-\beta \pm \gamma}{\sigma^2} \end{eqnarray}$$
• Utilice $B=(-\beta -\gamma)/\sigma^2$ . Sea $K=(-\beta -\gamma)/\sigma^2$ . Además, dejemos que $B=u+K$ . $$\begin{eqnarray} B^2 &=& u^2 + 2 K u + K^2 \\ B'&=&u'\\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 B^2 - \beta B +1 \\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 ( u^2 + 2 K u + K^2 ) - \beta (u+K) +1\\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u + \left( - \frac{1}{2} \sigma^2 K^2 - \beta K +1\right) \\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u + 0 \\ &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u \\ u' &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u \end{eqnarray}$$
• Dejemos que $u=1/z$ . Además, $u'=-z'/z^2$ . $$\begin{eqnarray} u' &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2 - \sigma^2 K u - \beta u \\ -\frac{z'}{z^2} &=& - \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{1}{z^2} - ( \sigma^2 K + \beta ) \frac{1}{z} \\ z' &=& \frac{\sigma^2}{2} + ( \sigma^2 K + \beta ) z \end{eqnarray}$$
• Dejemos que $M=\sigma^2/2$ y $N= ( \sigma^2 K + \beta )$ . Por lo tanto, con la constante integral $C$ , $$\begin{eqnarray} z&=& C e^{Nt} - \frac{M}{N} \\ z&=& \frac{1}{u} = \frac{1}{B-K} = C e^{Nt} - \frac{M}{N} =\frac{C N e^{Nt} - M}{N} \\ B&=&\frac{N}{C N e^{Nt} - M} +K %= \frac{N}{C N e^{Nt} - M} + \frac{C N e^{Nt} - KM}{C N e^{Nt} - M} = \frac{C N K e^{Nt} - KM +N}{C N e^{Nt} - M} \end{eqnarray}$$
• Dejemos que $t=0$ ya que $B=0$ . $$\begin{eqnarray} && \frac{C N K e^{0} - KM +N}{C N e^{0} - M} = 0 \\ && \frac{C N K - KM +N}{C N - M} = 0 \end{eqnarray}$$
• Aquí se llega a la siguiente condición. $$\begin{eqnarray} C &\neq& \frac{M}{N} = \frac{\sigma^2/2}{\sigma^2 K + \beta}= \frac{\sigma^2/2}{ -\beta - \sqrt{ \beta^2 + 2 \sigma^2}+ \beta} = -\frac{\sigma^2}{2 \gamma} \end{eqnarray}$$
• Se calcula el numerador prestando atención a las condiciones anteriores. $$\begin{eqnarray} C &=& \frac{KM-N}{KN} \end{eqnarray}$$
• Se llega a las siguientes ecuaciones. $$\begin{eqnarray} K&=& \frac{- \beta - \gamma}{\sigma^2} \\ M&=& \frac{\sigma^2}{2} \\ KM&=& \frac{- \beta - \gamma}{2} \\ N&=& \sigma^2 K +\beta = \beta - \gamma + \beta= - \gamma \end{eqnarray}$$
• Sustituya los resultados anteriores en $C$ . $$\begin{eqnarray} C &=& \frac{KM-N}{KN} = \frac{\frac{-\beta - \gamma}{2}+ \frac{2}{2} \gamma}{ \frac{- \beta - \gamma}{\sigma^2} ( - \gamma) } = \frac{ \frac{-\beta + \gamma}{2}}{ \gamma \frac{ \beta + \gamma}{\sigma^2} } = - \frac{ (\beta - \gamma) \sigma^2 }{ \gamma ( \beta + \gamma ) 2 } \\ CN&=&\frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} \\ CNK&=& \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} \left(\frac{- \beta - \gamma}{\sigma^2} \right) = - \frac{\beta - \gamma}{2} \end{eqnarray}$$
• Sustituya los resultados anteriores en $B$ . $$\begin{eqnarray} B&=& \frac{C N K e^{Nt} - KM +N}{C N e^{Nt} - M} = \frac{ - \frac{\beta - \gamma}{2} e^{- \gamma t} + \frac{ \beta + \gamma}{2} - \gamma }{ \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} e^{- \gamma t} - \frac{\sigma^2}{2} } \\ &=& \frac{ - \frac{\beta - \gamma}{2} e^{- \gamma t} + \frac{ \beta - \gamma}{2} }{ \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } \frac{ \sigma^2 }{2} e^{- \gamma t} - \frac{\sigma^2}{2} } = \frac{ - \left( \frac{\beta - \gamma}{2} \right) \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{ \beta - \gamma }{ \beta + \gamma } e^{- \gamma t} -1 \right)} \\ &=& - \frac{ ( \beta - \gamma )( \beta + \gamma ) \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \sigma^2 \left( ( \beta - \gamma ) e^{- \gamma t} - ( \beta + \gamma ) \right)} =- \frac{ ( \beta^2 - \gamma^2 ) \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \sigma^2 \left( ( \beta - \gamma ) e^{- \gamma t} - ( \beta + \gamma ) \right)} \\ &=& \frac{ 2\sigma^2 \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ \sigma^2 \left( ( \beta + \gamma ) e^{- \gamma t} - ( \beta + \gamma ) - 2 \gamma e^{- \gamma t} \right)} \\ &=& \frac{ 2 \left( e^{- \gamma t} -1\right) }{ ( \beta + \gamma ) \left( e^{- \gamma t} - 1 \right) - 2 \gamma e^{- \gamma t} } = \frac{ 2 \left( 1 - e^{ \gamma t} \right) }{ ( \beta + \gamma ) \left( 1 - e^{ \gamma t} \right) - 2 \gamma } \\ B(t) &=& \frac{ 2 \left( \exp(\gamma t) -1 \right) }{2\gamma +(\beta +\gamma)\left( \exp(\gamma t) -1 \right) }, \qquad \mbox{ with $\gamma=\sqrt{ \beta^2+2\sigma^2}$.} \end{eqnarray}$$

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