Dos interpretaciones del multiplicador de Lagrange

Question

Una pregunta sobre la segunda respuesta en este hilo: ¿Ayuda para entender los multiplicadores lagrangianos?

Si tenemos un problema estándar de maximización de la utilidad $$ \max_{x,y} U(x,y) $$ con la restricción $p_{x}x + p_{y}y = B$ , donde $p_{x}, p_{y}$ son los precios de $x,y$ y $B$ es el presupuesto/ingreso. El Lagriangio funcionaría como $$ U(x,y) + \lambda(B-p_{x}x - p_{y}y) $$ y procederíamos a tomar las derivadas parciales y encontrar los puntos críticos. Mi pregunta es sobre la interpretación de la función lagrangiana anterior y concretamente el multiplicador $\lambda$ :

1) ¿De qué manera $\lambda$ ¿el "precio que pagamos por no obedecer nuestra restricción"? (como dice una de las explicaciones del post enlazado)

2) Intuitivamente, no matemáticamente, ¿cómo es esto equivalente a la interpretación de $\lambda$ como un "precio sombra"? ¿Qué es exactamente un precio sombra?

3) ¿Qué diferencia hay entre $\lambda$ si nuestra restricción se escribiera como $p_{x}x + p_{y}y - B$ ¿en su lugar? (es decir, en orden inverso)

Answer 1

Si NO se respetara la restricción y se gastara 1\$ más (o más exactamente una cantidad infinitesimal más) su utilidad subiría en $\lambda$ . Como tal $\lambda$ es lo que se renuncia por obedecer la restricción, es el precio que se paga indirectamente y de ahí que se llame precio sombra.

Escribir la restricción a la inversa no tiene otro efecto que el de cambiar el signo de $\lambda$ pero eso depende de la forma en que se configure el problema (es decir, si se añade la restricción con un más o un menos).