¿Cómo comprobar la invertibilidad en los modelos de la familia ARCH?

Question

Espero que todo el mundo esté bien.

Citando a Enders (2014) en el libro Series temporales econométricas aplicadas : "el enfoque Box-Jenkins también requiere que el modelo sea invertible" mientras se discuten las condiciones necesarias para los modelos AR, MA y ARMA. Tanto en el álgebra como en el código (R), esto es relativamente sencillo de verificar para los modelos más pequeños.

¿Cómo se debe proceder cuando se trata de modelos de la familia ARCH (ARCH, GARCH, GARCH-M)? Dado que se tienen dos ecuaciones (la que describe el comportamiento de la media y la que describe el comportamiento de la varianza), ¿se debe verificar la invertibilidad para ambas, o sólo se debe verificar para la ecuación de la media?

Gracias.

Answer 1

No está claro a qué te refieres con "invertibilidad de la ecuación de la media". La invertibilidad, en el contexto de Box-Jenkins, es una propiedad de los procesos ARMA. Una caracterización de la invertibilidad es que un proceso ARMA es invertible si y sólo si el polinomio MA no tiene raíces dentro del disco unitario en el plano complejo. Desde el punto de vista empírico, la invertibilidad significa que la innovación actual (inobservable) es una suma ponderada de lo que se ha observado, aunque los pesos de la suma sean desconocidos ex ante. Un modelo de tipo ARCH no suele asumir ningún tipo de especificación ARMA para la media.

En cuanto a la varianza $\sigma_t^2$ en, digamos, GARCH, por supuesto sigue un proceso ARMA, y su invertibilidad puede comprobarse como cualquier modelo ARMA. Para las extensiones "X"-GARCH que abandonan el marco del proceso lineal ARMA, no está claro cómo se definiría la invertibilidad.