Principio de reflexión del movimiento browniano

Question

Agradeceré alguna orientación sobre cómo conseguir la siguiente igualdad:

Answer 1

Sólo lo mostraré para $M_T = \max_{u\leq T} B_u$ y $(x,h)$ -dominio

$$ \{ h> 0, h > x \}. $$

Por el reflexión principal lo tenemos:

$$ P\left( B_T < x, M_T > h \right) = P\left( 2h - B_T < x, M_T > h \right), $$ en el dominio anterior, y por lo tanto también tenemos la siguiente igualdad del densidades conjuntas de $(B_T,M_T)$ y $(2h-B_T, M_T)$ : $$ P\left(B_T \in dx, M_T \in dh \right) = P\left(2h-B_T \in dx, M_T \in dh \right),$$ en el mismo dominio.

Al usarlo, obtenemos:

$$ E\left[1_{\{B_T<x, M_T>h\}}{\rm e}^{cB_T - c^2T/2} \right] = E\left[1_{\{2h-B_T<x, M_T> h\}}{\rm e}^{c(2h-B_T) - c^2T/2} \right] = (*)$$

Señalando además que

$$ \{2h-B_T<x, M_T>h\} = \{2h-B_T < x \}, $$

como $h>x$ obtenemos

$$ (*)= E\left[1_{\{2h-B_T<x\}}{\rm e}^{c(2h-B_T) - c^2T/2} \right] $$