Si la volatilidad es cero (es decir, σ=0), ¿qué valor tiene la opción de compra? Una vez valorada la opción de compra, ¿cómo se cubre la opción de compra (suponiendo que se haya vendido)?

Question

Pregunta : Se cumplen todos los supuestos de Black-Scholes. Supongamos que no hay dividendos. El precio de las acciones es de 100 dólares. El tipo de interés sin riesgo es del 5% anual. Considere una opción de compra europea a un año que se ejecuta at-the-money (es decir, el precio de ejercicio es igual al precio de contado actual).

$(1)$ Si la volatilidad es cero (es decir, =0), ¿cuál es el valor de la llamada?

$(2)$ Después de valorar la opción de compra, cómo cubrir la opción de compra (suponiendo que la hayas vendido).

Mi intento de $(1)$ :

Como la volatilidad es cero, significa que la rentabilidad no se desvía de la rentabilidad sin riesgo, es decir, $$$100 \times 1.05 = $ 105.$$ Así que la llamada vale $\$ 105.$

Pero no tengo ni idea de cómo cubrir la llamada.

Se agradecería cualquier idea.

Answer 1

Si $\sigma=0$ el precio de las acciones es determinista y crece a un ritmo $r$ . Por lo tanto, en un año, vale la pena $100\cdot e^{0.05}\approx 105.13$ . La huelga es $K=100$ . Su resultado es, por tanto, el siguiente $5.13$ . Descuento a la tasa $r$ , se obtiene como precio de la opción justa de hoy $5.13\cdot e^{-0.05}\approx4.88$ . Obsérvese que no hay aleatoriedad y que el precio de las acciones es perfectamente predecible.

La cobertura de un pago tan conocido puede hacerse simplemente invirtiendo dinero en un bono. Y lo que es más interesante, si $\sigma\neq0$ entonces no hay una cobertura estática y hay que cubrir la opción dinámicamente. Black y Scholes (1973) muestran que la cartera $C-\Delta S$ está localmente libre de riesgo y por lo tanto es igual al bono libre de riesgo. Aquí, $\Delta=\frac{\partial C}{\partial S}$ . De este modo, se obtiene una forma de cubrir la opción de compra invirtiendo en la acción y en un bono (libre de impago y de cupón cero) (que vence cuando vence la opción). A partir de esta relación, Black y Scholes (1973) también derivan su famosa EDP, que permite encontrar una solución de forma cerrada para el precio de la opción. En pocas palabras: al cubrirse, se replica el pago del derivado. En el caso de las opciones, hay que ajustar continuamente la cartera de cobertura (porque $\Delta$ sigue cambiando).