¿Cuál es el Rho de una opción sobre un contrato de futuros valorada mediante el modelo Black 76?

Question

Quería confirmar rápidamente algunos cálculos sencillos para los griegos de Black 76 y estaba haciendo uso de las fórmulas de este sitio web:

http://riskencyclopedia.com/articles/black_1976/

Tengo un problema con su declaración de Rho y quería consultarlo con vosotros. Su versión para una llamada tiene:

$$\rho = \tau e^{-r\tau}K\Phi(d_2)$$

Mientras que yo creo que debería serlo:

$$\rho = \tau e^{-r\tau}(K\Phi(d_2) - F \Phi(d_1))$$

es decir

$$\rho = - \tau C$$

Dónde $C$ es el precio de la opción de compra Black76:

$$C = e^{-r\tau}(F \Phi(d_1) - K\Phi(d_2))$$

Agradecería mucho su opinión, ya que la única persona que ha publicado mi comentario no está de acuerdo conmigo.

Answer 1

Estoy de acuerdo con usted. En la configuración de Black 76 consideramos una opción sobre un precio a futuro/futuros $F$ . $F$ se modela como un movimiento browniano geométrico y, a diferencia del modelo BM habitual, el precio de los futuros no crece con la tasa sin riesgo.

Entonces su fórmula para la llamada (C) es correcta. Tenga en cuenta que, en general, ni $F$ , $d_1$ ni $d_2$ contienen el término $r$ . Entonces, tomando la derivada con respecto a $r$ llegamos a su fórmula.

En el caso de que el precio a plazo se pueda encontrar mediante la fijación de precios de coste de transporte (por ejemplo, las opciones sobre índices de renta variable, las cosas se simplifican porque entonces $$F_t = S_0 \exp((r-q)t),$$ que se simplifica aún más si $q=0$ Entonces el $r$ los términos pueden salir, pero entonces, de hecho, estamos de vuelta en el modelo de BS. Por lo tanto, yo diría: si el coste de transporte en el sentido de la fórmula anterior se mantiene, entonces Black-Scholes y Black 76 son la misma cosa.

En el ejemplo de los futuros del VIX, el coste de transporte no se mantiene y se necesita B76 (si se quiere modelar los futuros del VIX como GBM, lo que es discutible).