¿Es la beta de la cartera aditiva bajo todas las distribuciones de rendimiento?

Question

Si beta es aditivo, es decir ${\beta}_P =\sum w_i \beta_i$ ¿no deberían los dos métodos de abajo dar el mismo número?

Método 1: Estimar la beta de cada activo de la cartera. A continuación, ${\beta}_P =\sum w_i \beta_i$

Método 2: Estimar la rentabilidad de la cartera $r_P =\sum w_i r_i$ . A continuación, estima la beta.

Los dos resultados, aunque cercanos, no son idénticos. ¿A qué se debe esto? ¿Hay algún supuesto implícito en los términos de error de las regresiones (es decir, no están correlacionados, tienen media cero, etc.)?

Answer 1

Matemáticamente deben ser iguales:

$\frac{Cov(Portfolio_{returns},r^m)}{Var(r^m)} = \frac{Cov(\sum w_i r_i,r^m)}{{Var(r^m)}} = \frac{\sum w_i Cov(r_i,r_m)}{Var(r^m)} = \sum w_i \beta_i = Portfolio_{beta}$

Esto es sólo matemáticas y no tiene nada que ver con las finanzas. Deben rendir lo mismo.

Answer 2

En su método 2: si dice que hace una regresión de la rentabilidad de la cartera $r = \sum w_i r_i$ sobre los rendimientos de los activos $r_i$ entonces lo haces multivariante regresión y todas las covarianzas entre los activos se incorporarán a la solución (el vector $\beta$ ).

Utilizando el método 1, primero se calcula univariante regresiones y las pesa - esto es algo diferente.