¿Por qué el numerario del modelo LGM es negociable?

Question

Estoy tratando de entender el modelo LGM, que Hagan define así. La variable de estado $X$ evoluciona en función de $$dX(t) = \alpha(t) dW^N(t)$$ con respecto al numerario $$N(t) = \frac{1}{P(0,t)} e^{H(t)X(t)+H^2(t)\int_0^t\alpha^2(s)ds}.$$ Las funciones $H$ y $\alpha$ son deterministas y pueden elegirse (casi) arbitrariamente.

Me gustaría entender por qué $N$ es incluso elegible como numerario en primer lugar. Es positivo, pero sin ningún otro supuesto no veo cómo debe ser un activo negociable.

También la SDE para $X$ depende de $W^N$ que depende de $N$ que a su vez depende de $X$ . Entiendo que asumiendo que todo está bien definido y $N$ es un numerario válido podemos derivar la forma explícita bajo $Q$ por Girsanov, pero ¿no es la definición un poco circular?

Answer 1

La confusión es que usted piensa que definimos el numerario como esta función exponencial... No es el caso. Damos las propiedades del numerario a $N$ Entonces lo modelamos. De forma similar a cualquier otro modelo.

Todo lo que sabemos es que $N$ es positivo, y tenemos $$\frac{V_t}{N_t}=E^{N}\left[\frac{V_T}{N_T}|\mathbb{F_t}\right]$$ donde $V_t$ es un activo negociable.

$N$ puede ser la cuenta del mercado monetario, un bono de cupón cero que paga en el momento $T$ ... o puede quedarse "sin nombre".En realidad es irrelevante definir qué es exactamente, sé que puede ser engañoso no poder imaginar el numerario.

Tanto si está definido como si no, siempre tenemos que modelar el numerario, ese es el segundo paso. Cuando modelamos un bono de cupón cero, nos aseguramos de que tiene propiedades que no violan lo que definimos en el primer párrafo. Lo mismo ocurre con este numerario $N$ .

En cuanto a la medida, si es circular, entonces es el mismo problema para todos los modelos. Cuando se utiliza el modelo de tipos cortos más sencillo bajo la medida de neutralidad al riesgo, el numerario es la cuenta del mercado monetario , y es una función del modelo de tipos cortos...

Es la misma historia aquí, definimos primero un numerario $N$ (simplemente nombrándolo y dándole todas las propiedades del numerario), y decimos que el numerario está dirigido por una SDE $X$ bajo la medida que hace toda la relación $\frac{V_t}{N_t}$ martingala donde $V$ es un activo.