He formulado la pregunta en la sección de estadísticas en stack exchange, pero nadie ha sido capaz de darme una respuesta. Creo que en realidad es una pregunta que toca la econometría, así que voy a hacerla aquí (me gustaría utilizar la respuesta a esto en un contexto econométrico):
Estoy un poco confundido. Los supuestos que deben cumplirse para que los estimadores OLS sean consistentes (y eficientes) son bastante sencillos.
Actualmente estoy tratando de demostrar la consistencia de los estimadores de regresión cuantílica (QR).
He encontrado los siguientes apuntes de clase: https://eml.berkeley.edu/~powell/e241a_sp10/qrnotes.pdf
Hay 4 supuestos enumerados (página 3) para la prueba de consistencia de los estimadores QR. La primera es que los datos $x_{t},y_{t}$ dado $t=1,2,..,n$ tiene que ser i.i.d. (independiente y distribuido indénticamente).
En el caso de OLS los datos sólo tienen que ser covarianza-estacionaria . A mi entender, el supuesto mencionado de datos i.i.d. descarta la posibilidad de, por ejemplo, procesos autorregresivos, ya que en ese caso los puntos de datos no son independientes entre sí. Esto, a su vez, pone límites bastante restrictivos a las posibles aplicaciones de QR.
¿Me estoy perdiendo algo? ¿Podría alguien aclararme los supuestos de consistencia de los estimadores QR?
Gracias.
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En una nota no relacionada, parece que hay un error en estas notas. En la página 1, la definición $\eta_Y = \arg \max_c E[|Y - c| - |Y|]$ parece estar mal. Si este fuera el caso, $c =0$ produciría cero. Además, podemos tomar $c\rightarrow\infty$ y hacer que el objetivo sea arbitrariamente pequeño. La definición debería ser probablemente $\eta_Y = \arg \max_c E[|Y - c|]$ . Parece que este error se propaga en otros lugares (pero no hace demasiada diferencia en general).
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Iid es suficiente, no necesario. Lo asumen por conveniencia. Se puede permitir la heteroscedasticidad y la autocorrelación siempre que se cumpla algún tipo de "ley uniforme de los grandes números". La prueba para OLS es relativamente sencilla porque tienes la forma explícita. Es más difícil en su caso. Leer las pruebas de los estimadores M ayudaría.