Hegemonía contra el tipo de interés estocástico

Question

Estoy trabajando en un índice y estoy tratando de fijar el precio de las opciones de compra en él. Trabajo con el LIBOR de 3 meses como efectivo.

Utilizo la siguiente fórmula de Black-Scholes $$C_{t} = S_{t}e^{-q_{t}(T-t)}\mbox{N}[d_{1}(t)] - K e^{-r_{t}(T-t)}\mbox{N}[d_{0}(t)] $$ con las anotaciones habituales. $r_{t}$ es el tipo LIBOR y $q_{t}$ es el dividendo de mi Índice. No puedo utilizar la fórmula clásica $R(t,T) = \frac{1}{T-t} \int_{t}^{T} r_{s} ds$ ya que la tasa no es determinista.

He implementado una cobertura delta clásica. Mi cobertura delta funciona bien, excepto en el caso de las opciones de compra demasiado profundas en el dinero, en las que las pérdidas y ganancias se comportan exactamente igual que el tipo de interés.

Esto ocurre sólo en el caso de las Call con vencimiento a varios años y con huelgas muy en el dinero. La conclusión de mi gestor es que tengo que cubrirme contra la estocasticidad del tipo de interés, utilizando un bono de cupón cero.

Miré algunas documentaciones sobre el cupón cero, y vi que podemos tener una fórmula cerrada bajo el modelo Hull-White. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo calibrarla, ya que mis únicas entradas son los tipos LIBOR.

Además, no sé qué cantidad debo invertir en mi bono de cupón cero: ¿debo invertir el $\rho$ ( $\frac{\partial C_{t}}{\partial r_{t}}$ ) ?

No sé muy bien por dónde empezar, así que se agradecería cualquier ayuda :)

Gracias.

Answer 1

Pregunta : ¿Podría precisar el $d_{1}(t)$ y $d_{0}(t)$ que usas en tu fórmula?

Esto es si usted está usando el mismo $d_{1}$ y $d_{2}$ como en la teoría clásica de B&S, su fórmula es incorrecta, ya que sólo es válida con tasas deterministas constantes.

Creo que hay versiones modificadas de Black Scholes que tienen en cuenta las tasas estocásticas, pero entonces las fórmulas son diferentes de las clásicas de B&S y dependen del modelo.

$r_{t}$ en el modelo de Hull White no representa realmente un tipo de interés real (no tiene vencimiento), sólo se utiliza a efectos de modelización y corresponde a una operación de préstamo instantáneo que comienza y termina en la fecha t y que también corresponde al límite del tipo a plazo instantáneo $f(t, T) $ definido como $-\frac{\partial}{\partial T} logP(t, T) = f(t, T)\underset{T \rightarrow t}{\rightarrow} r_{t}$ donde $P(t,T)$ es el $t$ precio de un cupón cero con vencimiento en $T$ , por lo tanto, utilizando $r_{t}$ como una tasa LIBOR sería bastante inexacta .

En lo que respecta a la calibración de Hull White, suele hacerse utilizando los precios de las swaptions y el truco de Jamshidian (cf. Calibración del blanco del casco y La fórmula de intercambio de Jamshidian se afina ), supongo que siempre se puede hacer una regresión de las fijaciones del LIBOR y considerar que éstas corresponden a $r_{t}$ Pero, de nuevo, esto le daría precios de cupón cero que están muy lejos de los precios de mercado.

Por último, en cuanto a la $\rho$ la cobertura en el mundo de la renta variable, (aunque no soy un experto), creo que se realiza mediante swaps, por lo que sólo es necesario tener una curva de descuento adecuada y una curva a plazo para fijar el precio de los swaps (cf. Bianchetti y Ametrano 2013 ) (eventualmente, si se trata de productos rescatables, habrá que valorar los swaps rescatables, que pueden verse como una combinación de un swap y un swaption de bermudas, y en este caso se necesitará un modelo para valorar sus bermudas).

Saludos

Answer 2

Quizás quiera echar un vistazo a "The Pricing of Risky Debt when Interest Rates are Stochastic" de David C. Shimko, Naohiko Tejima y Donald R. van Deventer de 1993. Utilizan un modelo de BS con tipos de interés estocásticos que puede servirle de inspiración.

Answer 3

Realmente no debería haber ninguna diferencia en la cobertura de las opciones con vencimiento más largo en comparación con las más cortas. Podría sugerir que en lugar de utilizar la opción de compra "deep in the money", se cubra la opción de venta "out of the money". Pero las opciones deep out of the money o in the money a menudo tienen un skew smile y pueden ser un poco difíciles de valorar. No estoy seguro de por qué un cupón cero resolvería ese problema. En cualquier caso, usted cubriría la opción con el delta y el ratio del nocional vendría de su duración.