Una simple pregunta sobre la cobertura Delta

Question

En el modelo de Black y Scholes, cuando se necesita inmunizar la cartera de las variaciones de la acción el argumento que se da es el siguiente. Si $\alpha_t$ es la cantidad invertida en la acción, $\beta_t$ la cantidad en el bono, construimos una cartera cuyo valor es

$$V_t = -C_t+\alpha_t\,S_t+\beta_t\,B_t,$$

donde $C_t=f\left(t,S_t\right)$ es el precio de una opción Call y donde $S_t$ y $B_t$ son, respectivamente, el precio de la acción y el precio del bono en el momento $t$ . Así que estamos vendiendo en corto una unidad de la llamada y comprando la cartera cuya $\alpha_t\,S_t+\beta_t\,B_t$ . Ahora uno elige $x$ tal que

$$\frac{\partial V_t}{\partial S_t} = 0\Leftrightarrow -\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\alpha_t=0\Leftrightarrow \alpha_t = \frac{\partial C_t}{\partial S_t}\equiv \Delta_t.$$

Lo que me desconcierta es el hecho de que al derivar el valor de la cartera asumimos que $\alpha_t$ no depende de $S_t$ mientras que la solución final sí depende. Así que, en principio, habría que hacer este cálculo (suponiendo que $\beta_t$ no depende de $S_t$ )

$$\frac{\partial V_t}{\partial S_t} = -\frac{\partial C_t}{\partial S_t}+\alpha_t+\frac{\partial \alpha_t}{\partial S_t}\,S_t = 0$$

cuya solución es, por supuesto, diferente de $\alpha_t=\Delta_t$ . ¿En qué me equivoco?

Answer 1

$\alpha_t$ debe elegirse antes de los movimientos del precio de las acciones, por lo que la expresión $S_t d\alpha$ no tiene sentido: no podemos tomar una posición en una acción basándonos en información que aún no conocemos.

El paso que falta es que la cartera de réplicas se autofinancie: es decir, para todos los $t$ las siguientes ecuaciones se mantienen: $$X_t=\Delta S_t+\Gamma M_t$$ $$dX=\Delta dS+\Gamma dM$$ Dónde $X$ es el valor de la cartera y $S$ y $M$ son el stock y el activo sin riesgo. La primera ecuación establece que no se inyecta ni se retira ningún activo externo en ningún momento. La segunda establece que no podemos tomar una posición en un activo basándonos en información que no está disponible en el momento $t$ (ya que aplicando ingenuamente el lema de Ito a $X_t$ produciría un $d\Delta$ y $d\Gamma$ término).

Combinando las dos ecuaciones se obtiene $$dX=\Delta dS +r(X_t-\Delta S_t)dt$$

Si se combina esta ecuación con $df(S, t)$ da lugar a la EDP correcta.