Ayuda para resolver una ecuación diferencial estocástica

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente SDE $$dX(t)=rdt+aX(t)dW(t),\ t>0$$ $$X(0)=x$$ donde W() es un proceso de Wiener y r,a y x números reales. He procedido utilizando el factor integrador $$F(t)=exp^{-aW(t)+(1/2)a^{2}t}$$ He calculado dF usando el Lemma de Ito

$$dF_{t}=(1/2)a^{2}{F}_{t}dt-a{F}_{t}dW+(1/2)a^{2}{F}_{t}dW^{2}=a^{2}F_{t}dt-aF_{t}dW_{t}$$ y luego procedí a encontrar $$d(X_{t}F_{t})=X_{t}dF_{t}+F_{t}dX_{t}+dX_{t}dF_{t}=rF_{t}dt+(a-1)X_{t}F_{t}dW_{t}$$ Tengo dos preguntas:

1. ¿Estoy en lo cierto hasta ahora?
2. ¿Cómo procedo para resolver finalmente la SDE y encontrar X?

Answer 1

Con su SDE para $F$ me sale:

$$ dXdF = -a^2XFdt $$

$$FdX = rFdt + aXFdW $$

$$XdF = a^2XF dt -aXF dW$$

Así que, sumando:

$$ d(XF) = rF dt, $$

dando

$$ X_t = F^{-1}_t X_0 + rF^{-1}_t \int_0^t F_u du $$