Incertidumbre y políticas eficientes de Pareto

Question

Hay dos agentes económicos $i\in \{1,2\}$ con utilidad dependiente del estado $u_{is}=-(x-b_{is})^2$ donde $x\in R$ y $b_{is}\in R$ es el punto de felicidad de $i$ en el estado $s\in\{1,2\}$ . Supongamos que $b_{1s}\lt b_{2s}$ para $\forall s\in\{1,2\}$ . Estado $s\in\{1,2\}$ se produce con probabilidad $\pi_{s}$ . Denotamos $U_i(x_1,x_2)=\pi_1u_{i1}(x_1)+\pi_2u_{i2}(x_2)$ .

Políticas eficientes de Pareto a posteriori en los estados 1 y 2, $x_1^*$ y $x_2^*$ respectivamente, he comprobado que son los siguientes:

Cualquier política en $[b_{11},b_{21}]$ es ex post Pareto eficiente en el estado 1 y cualquier política que no esté en $[b_{11},b_{21}]$ es ex-post Pareto ineficiente en el estado 1. Por lo tanto, $x_1^* = z$ , donde $z$ es cualquier $z\in [b_{11}, b_{21}].$ Con argumentos similares $x_2^* = z$ , donde $z$ es cualquier $z\in[b_{12}, b_{22}].$

Pero cómo caracterizaríamos los pares de políticas eficientes de Pareto ex-ante, ${x_1^*,x_2^*}?$

Answer 1

Las asignaciones pareto-eficientes pueden encontrarse maximizando una media ponderada de las utilidades de los agentes. Sea $\lambda$ sea el Peso de Pareto para el agente 1 y $1 - \lambda$ el peso del agente 2 (donde $\lambda \in [0,1]$ ). Esto da lugar al siguiente problema: $$ \max_{x_1, x_2} -\lambda \left[\pi_1(x_1 - b_{11})^2 + \pi_2(x_2 - b_{12})^2\right] - (1-\lambda)\left[ \pi_1 (x_1 - b_{21})^2 + \pi_2 (x_2 - b_{22})^2\right]. $$ Las condiciones de primer orden con respecto a $x_1$ y $x_2$ dar: $$ \lambda \pi_1 2(x_1 - b_{11}) + (1-\lambda) \pi_1 2(x_1 - b_{21}) = 0\\ \lambda \pi_2 2(x_2 - b_{21}) + (1-\lambda) \pi_2 2(x_2 - b_{22}) = 0. $$

Simplificar da: $$ x_1 = \lambda b_{11} + (1-\lambda) b_{21},\\ x_2 = \lambda b_{21} + (1-\lambda) b_{22}. $$ Así que $x_1$ y $x_2$ son medias ponderadas de los puntos de felicidad.