Efecto de la delimitación del espacio de acción en el conjunto de equilibrios

Question

Supongamos que $N$ jugadores juegan una partida, donde el espacio de acción de cada jugador es $[0,1]$ .

Cada jugador tiene una función de utilidad continua idéntica $u:[0,1]\times [0,1]^{N-1}\rightarrow\mathbb{R}$ donde el primer argumento es su propia acción, y los otros argumentos son las acciones de otros jugadores, con $u$ siendo invariable bajo reordenamientos de los otros jugadores.

Supongamos que el juego tiene un único equilibrio de Nash puro y simétrico en el que cada jugador realiza una acción $a\in (0,1)$ .

Supongamos ahora que se cambian las reglas del juego y que los jugadores sólo pueden elegir acciones en el intervalo $[b,1]$ , donde $b\in (0,a)$ . Por preferencia revelada, cada jugador que toma una acción $a$ sigue siendo un equilibrio de Nash (si antes no tenían una desviación rentable, ahora tampoco).

¿Es posible (para algunos $u$ (¡espero que no sea demasiado raro!) que cada jugador que realiza una acción $b$ ¿es ahora un equilibrio de Nash adicional, aunque antes no lo fuera? ¿Es posible que el $b$ equilibrio sobrevive a algún refinamiento (por ejemplo, mano temblorosa) que el $a$ ¿el equilibrio no lo hace?

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Ahora que se ha respondido a esto, señalaré brevemente la circunstancia particular que tenía en mente. El $N$ Los protagonistas son los países, que eligen el nivel de su tipo impositivo para las empresas. $a$ es el nivel moderado de los impuestos de sociedades que (la mayoría) de los países han establecido en ausencia de un acuerdo internacional. $b$ es el nuevo nivel mínimo ahora acordado internacionalmente. Si el $u$ en la respuesta se parece en algo a las retribuciones de los países a la hora de fijar el tipo del impuesto de sociedades es otra cuestión.

Answer 1

Dejemos que $N=2$ y para $(x,y)$ y $(p,q)$ en $[0,1]^2$ dejar $d_{p,q}(x,y)$ sea la distancia euclidiana entre $(p,q)$ y $(x,y)$ es decir $d_{p,q}(x,y)=[(p-x)^2+(q-y)^2]^{1/2}$ .

Elija $k>0$ tal que $k<a-b$ y $k<b$ .

Ahora defina $$u(p,q):=\max\{ -d_{p,q}(a,a),-d_{p,q}(b,b),k-d_{p,q}(b,0),k-d_{p,q}(0,b) \}.$$ Esta función es continua como un máximo de funciones continuas.

La construcción hace que $u(p,q)$ negativo en todas partes excepto en $(a,a)$ y en $(b,b)$ donde se encuentra $0$ y en el (pequeño) $k$ -discos alrededor $(b,0)$ y $(0,b)$ donde alcanza un valor máximo de $k$ en estos puntos.

En el caso no restringido, $(a,a)$ es una NE simétrica y pura, pero $(b,b)$ no lo es, ya que cada jugador querría desviarse unilateralmente para jugar $0$ . En todos los demás perfiles de estrategia simétrica los jugadores querrían desviarse unilateralmente hacia cualquiera de los dos $a$ , $b$ o $0$ .

En el caso restringido, $(b,b)$ es también una NE pura y simétrica, puesto que ya no es posible una desviación a la baja.

Este ejemplo puede generalizarse directamente a $N\ge 3$ jugadores. Dejo la parte del refinamiento sin responder aquí, pero creo que esto también podría construirse de manera similar.