Ayuda para entender el paso $\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^ng_jg_k\text{Cov}(\epsilon_{n-1},\epsilon_{n+h-k})=\sum_{j=0}^ng_j^2+h\sigma^2$

Question

Dado es que $\epsilon_n$ es un proceso de ruido blanco con $\text{Var}(\epsilon_n)=\sigma^2$ y que $g_j\in\mathbb{R}$ . Hay un paso en mis notas de clase que no entiendo. Dice lo siguiente

$$\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^ng_jg_k\text{Cov}(\epsilon_{n-j},\epsilon_{n+h-k})=\sum_{j=0}^ng_j^2+h\sigma^2 \quad \text{for} \quad h\ge0,$$

con la motivación " Necesito $k=h+j$ de lo contrario la covarianza es cero, utilizamos esto para eliminar la suma sobre $k$ ".

Entiendo que la suma sobre $k$ y que queremos evitar la covarianza cero, pero ¿cómo $+h\sigma^2$ ¿aparece? Haciendo la sustitución $k=h+j$ entonces la covarianza es sólo la varianza que es sólo $\sigma^2$ (no $h$ ), y luego se multiplica a la suma y no se suma.

Answer 1

$${\rm Cov} (\epsilon_{n-j}, \epsilon_{n+h-k}) =\gamma (h-k+j) = \sigma^2 1_{k=h+j} $$

donde $1_A$ es la función indicadora, ajustada a $1$ declaración if $A$ es verdadero, y se establece en $0$ de lo contrario.

Así que la doble suma es:

$$ \sum_{j=0}^\infty\sum_{k=0}^{\infty}g_jg_k\text{Cov}(\epsilon_{n-j},\epsilon_{n+h-k})$$ $$ = \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty} g_jg_k \sigma^2 1_{k=h+j} $$ $$= \sum_{j=0}^{\infty} g_jg_{h+j} \sigma^2 $$

como

$$ \sum_{k=0}^{\infty} g_jg_k \sigma^2 1_{k=h+j} = g_jg_{h+j} \sigma^2 $$

Como $k$ corre de $0$ a $\infty$ los términos de la última suma son $0$ excepto cuando $k$ golpes $h+j$ que se producirá en cualquier caso, pero fijo, $h$ .

Si la suma es finita, $k$ corre de $0$ a $n$ entonces

$$ \sum_{k=0}^{n} g_jg_k \sigma^2 1_{k=h+j} = g_jg_{h+j} \sigma^2 1_{h+j \leq n}$$