Por qué hay algún término no homogéneo en la EDP de la renta fija

Question

Consideramos un factor que impulsa el modelo de producto de renta fija, por ejemplo, el interés a corto plazo $r(t)=\lim\limits_{T\rightarrow t} R(t,T),$ $R(t,T)$ es el rendimiento, es decir $$B(t,T)e^{(T-t)R(t,T)} = 1$$ Entonces vemos varias PDE de demanda contingente

Zero-coupon bond $B(t,T)$ $$\dfrac{\partial B}{\partial t} + LB -r(t)B = 0$$ aquí $L$ es el operador diferencial en la ecuación de Feynman-Kac.

Swap of fixed rate $r^*$ $$\dfrac{\partial V}{\partial t} + LV -r(t)V + (r - r^*) = 0$$

Caplet at rate $r*$ $$\dfrac{\partial V}{\partial t} + LV -r(t)V + \min(r,r^*) = 0$$

Floorlet at rate $r*$ $$\dfrac{\partial V}{\partial t} + LV -r(t)V + \max(r,r^*) = 0$$

Aquí $r = r(t)$ y $V(t,T,r(t))$ es el valor de la demanda contingente que es la función de $t$ y $r$ Por ejemplo, para un bono de cupón cero $V=B.$

No podía entender cuando la dinámica de $r(t)$ ¿por qué hay algunos términos no homogéneos en la ecuación de Black-Scholes? ¿Puede alguien explicar uno de los tres posteriores?

Answer 1

Comprueba https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Es la $f(X_r,r)$ en la fórmula. Por el canje se recibe $(r-r^*) dt$ (suponiendo un nocional de 1) que se traduce en su $f$ (término no homogéneo).