Esperaba que alguien pudiera ayudarme con la siguiente pregunta.
Demostrar que bajo la probabilidad neutra de riesgo $\tilde{\mathsf P}$ el stock y el cuenta bancaria tienen la misma tasa media de crecimiento. En otras palabras, si $S_0$ y $S_N$ son los precios inicial y final de las acciones, y $B_0$ y $B_N$ los precios iniciales y finales del banco, muestran que:
$$ \tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right]=\tilde{\mathsf E}\left[\frac{B_N}{B_0}\right]=c $$ y encontrar la constante c.
Tengo lo siguiente:
Sé que la expectativa neutral al riesgo (o no neutral al riesgo) de la cuenta bancaria será simplemente $B_N/B_0$ , ya que la expectativa de cualquier inversión relacionada con el banco será sencillamente la misma que la del soporte (no hay incertidumbre en el banco).
Además, sé que $B_N=B_0(1+r)^N$ ( $B_N$ es igual a la inversión inicial multiplicada por el tipo de interés a la potencia $N$ ), así que puedo simplificar $$ \tilde{\mathsf E}\left[\frac{B_N}{B_0}\right]= B_N/B_0 = \frac{B_0(1+r)^N}{B_0}=(1+r)^N. $$
Mi problema es tratar de demostrar que este es el caso de las acciones $\tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right] = (1+r)^N.$ Como la acción es una martingala, sé que puedo decir eso:
$$ S_0/(1+r)^0 = \text{(by multi step ahead property)} = \tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right]. $$ Pero no sé qué hacer después de esto. He encontrado una manera en línea que dice que esto implica: $\tilde{\mathsf E}\left[\frac{S_N}{S_0}\right]=(1+r)^N$ pero no veo cómo la afirmación anterior implica esto.
Agradecería mucho cualquier ayuda.
